6 वी नवोदय : अंकगणित - पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 2.1

 6 वी नवोदय : अंकगणित - पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 2.1 

                 इयत्ता 6 वी नवोदय विद्यालय प्रवेश परीक्षेच्या अंकगणिताच्या प्रकरण 2, पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया, मधील स्वाध्याय 2.1 ची सर्व उदाहरणे इथे सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात खालील प्रकारची उदाहरणे दिलेली आहेत. 

1) दिलेल्या उदाहरणांत एखाद्या वस्तुची प्रति किलो किंमत दिलेली असेल त्यावरून कितीतरी किलो साठीची म्हणजेच, 5 किलो किंवा 10 किलो साठी त्या वस्तुची किंमत विचारली जाईल. 

2) दिलेल्या संख्येला एखाद्या संख्येने नि:षेश भाग जातो का ? याबद्दलची उदाहरणे सुद्धा या स्वाध्यायात विचारण्यात आलेली आहेत. 

3) दिलेल्या उदाहरणांत एखाद्या इंजिनची प्रति लीटर पाणी उपसण्याची क्षमता दिलेली असेल आणि त्यावरून इतक्या वेळेत किती पाणी उपसलं जाईल किंवा एव्हढं पाणी उपसायला किती वेळ लागेल अशा पद्धतीचे प्रश्न विचारलेले आहेत.  

4) दिलेल्या उदाहरणांत दोन संख्यांची बेरीज दिलेली असेल आणि संगितल असेल की एक संख्या दुसरीपेक्षा मोठी आहे किंवा लहान आहे आणि त्यावरून दोन्ही पैकी एक संख्या काढ़ायला संगितलेल असेल. 

5) काही दुकानांमधील कापडाचे भाव दिलेले असतील आणि त्यावरून कोणत्या ठिकाणी कपड़ स्वस्त दरात उपलब्ध आहे ते काढायला सांगितल असेल. 

6) अशी विविध प्रकारची प्रश्न या स्वाध्यायात विचारलेली आहेत. 

7) या स्वाध्यायातील सर्व उदाहरणांचे अगदी सोप्या पद्धतीने स्पष्टीकरण येथे देण्यात आलेले आहे.

प्र. 1. 4 किग्रॅ तांदळाची किंमत 9 किग्रॅ गव्हाच्या किमतीइतकी आहे. जर 1 किग्रॅ गव्हाची किंमत ₹ 54 असेल, तर 8 किग्रॅ तांदूळ व 9 किग्रॅ गव्हाची एकूण किंमत किती ?

(A) ₹ 1548  (B) ₹ 972  (C) ₹ 1215  (D) ₹ 1458

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी 1: गव्हाची एकूण किंमत काढणे

उदाहरणात दिल्याप्रमाणे,
1 किग्रॅ गव्हाची किंमत = ₹ 54
9 किग्रॅ गव्हाची किंमत = 54 × 9 = ₹ 486

पायरी 2: तांदळाची प्रति किग्रॅ किंमत काढणे

अटीनुसार, 4 किग्रॅ तांदळाची किंमत ही 9 किग्रॅ गव्हाच्या किमतीइतकीच आहे.
म्हणजेच, 4 किग्रॅ तांदळाची एकूण किंमत = ₹ 486

यातून 1 किग्रॅ तांदळाची किंमत काढू:
1 किग्रॅ तांदळाची किंमत = 486 ÷ 4 = ₹ 121.5

पायरी 3: 8 किग्रॅ तांदळाची किंमत काढणे

8 किग्रॅ तांदळाची किंमत = 121.5 × 8 = ₹ 972

पायरी 4: एकूण किंमत काढणे (उत्तर)

आपल्याला 8 किग्रॅ तांदूळ आणि 9 किग्रॅ गव्हाची एकूण किंमत विचारली आहे:
एकूण किंमत = ₹ 972 (तांदूळ) + ₹ 486 (गहू) = ₹ 1458

---

योग्य पर्याय: (D) ₹ 1458

प्र. 2. 4 किंवा जास्त अंकांची संख्या 8 ने विभाज्य असेल जर :

(A)    संख्या सम आहे.

(B) शेवटचा अंक 8 ने विभाज्य आहे.

(C) शेवटचे दोन अंक 8 ने विभाज्य आहेत.

(D) शेवटचे तीन अंक 8 ने विभाज्य आहेत.

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

8 ची कसोटी (Divisibility Rule of 8):

कोणत्याही 4 किंवा त्यापेक्षा जास्त अंकी संख्येला 8 ने पूर्ण भाग जाण्यासाठी, त्या संख्येच्या शेवटच्या 3 अंकांनी तयार होणाऱ्या संख्येला 8 ने पूर्ण भाग गेला पाहिजे.

उदाहरणे (Examples):

• संख्या 5128 मध्ये शेवटचे 3 अंक 128 आहेत. 128 ला 8 ने पूर्ण भाग जातो (128 ÷ 8 = 16), म्हणून 5128 ला सुद्धा 8 ने पूर्ण भाग जाईल.
• संख्या 73000 च्या शेवटी तीन शून्य (000) आहेत, यालाही 8 ने पूर्ण भाग जातो.

इतर पर्याय का चुकीचे आहेत?

पर्याय	नियम
(A) संख्या सम असणे	हा 2 चा नियम आहे (उदा. 6 ही सम संख्या आहे पण तिला 8 ने भाग जात नाही).
(B) शेवटचा अंक 8 ने विभाज्य असणे	हा नियम चुकीचा आहे (उदा. 18 च्या शेवटी 8 आहे पण त्याला 8 ने भाग जात नाही).
(C) शेवटचे दोन अंक 8 ने विभाज्य असणे	हा 4 चा नियम आहे, 8 चा नाही.

---

योग्य पर्याय: (D) शेवटचे तीन अंक 8 ने विभाज्य आहेत.

 

प्र. 3. एक इंजिन एका मिनिटात 95 लीटर पाणी उपसते. 14060 लीटर पाणी उपसण्यास त्याला किती वेळ लागेल ?

(A) 148 सेकंद  (B) 148 मिनिटे  (C) 148 तास  (D) 1480 मिनिटे

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी १: दिलेल्या बाबी

इंजिनची पाणी उपसण्याची क्षमता = 95 लिटर / मिनिट
एकूण उपसावयाचे पाणी = 14060 लिटर

पायरी २: सूत्राचा वापर

एकूण लागणारा वेळ काढण्यासाठी एकूण पाण्याला इंजिनच्या प्रति मिनिट क्षमतेने भागावे लागेल:
लागणारा वेळ = एकूण पाणी ÷ प्रति मिनिट क्षमता
लागणारा वेळ = 14060 ÷ 95

भागाकार प्रक्रिया (Division Step-by-Step):

95 ) 14060 ( 148
  -  95
 -------
    456
  -  380
 -------
     760
    - 760
 -------
     000

* 95 × 1 = 95 (बाकी 45 उरली, वरून 6 घेतला -> 456)
* 95 × 4 = 380 (बाकी 76 उरली, वरून 0 घेतला -> 760)
* 95 × 8 = 760 (बाकी 0 उरली)

पायरी ४: एकक (Unit) निश्चित करणे

इंजिनची क्षमता लिटर प्रति मिनिट मध्ये दिली असल्याने, येणारे उत्तर सुद्धा मिनिटांत असेल.
त्यामुळे, एकूण लागणारा वेळ = 148 मिनिटे.

---

योग्य पर्याय: (B) 148 मिनिटे

 

प्र. 4. दोन संख्यांची बेरीज 987654 आहे. जर एक संख्या दुसरीपेक्षा वीस हजार एकशेने मोठी असेल, तर दोन्हीपैकी मोठी संख्या कोणती ?

(A) 483777   (B) 493877   (C) 503870   (D) 503877

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी १: संख्या मानणे (Assuming the variables)

समजा, लहान संख्या = x
उदाहरणात दिल्याप्रमाणे, मोठी संख्या लहान संख्येपेक्षा 20100 ने मोठी आहे.
त्यामुळे, मोठी संख्या = x + 20100

पायरी २: समीकरण तयार करणे (Forming the Equation)

दोन्ही संख्यांची बेरीज 987654 आहे.
लहान संख्या + मोठी संख्या = 987654
x + (x + 20100) = 987654
2x + 20100 = 987654

पायरी ३: 'x' ची किंमत काढणे (Solving for x)

2x = 987654 - 20100
2x = 967554
x = 967554 ÷ 2
x = 483777 (ही लहान संख्या आहे)

पायरी ४: मोठी संख्या काढणे (Final Answer)

आपल्याला दोन्हीपैकी मोठी संख्या विचारली आहे:
मोठी संख्या = x + 20100
मोठी संख्या = 483777 + 20100 = 503877

---

योग्य पर्याय: (D) 503877

 

प्र. 5. एक इंजिन तासाला 84500 लीटर पाणी खेचते. एका दिवसात 10 तास इंजिन चालवण्यात येते. 5 दिवसांत ते किती लीटर पाणी खेचेल ?

(A) 402500   (B) 422500   (C) 42250   (D) 4225000

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी १: एका तासाची क्षमता

इंजिन एका तासाला खेचत असलेले पाणी = 84500 लिटर

पायरी २: एका दिवसातील एकूण पाणी

इंजिन रोज 10 तास चालते.
त्यामुळे, 1 दिवसात (10 तासांत) खेचलेले पाणी = 84500 × 10 = 845000 लिटर

पायरी ३: ५ दिवसांतील एकूण पाणी (Final Calculation)

आता, इंजिन 5 दिवस चालल्यास खेचलेले एकूण पाणी काढू:
एकूण पाणी = 845000 × 5
एकूण पाणी = 4225000 लिटर

  845000
×       5
----------
4225000

---

योग्य पर्याय: (D) 4225000

अजून वाचून पहा : 6 वी नवोदय : अंकगणित - संख्या आणि संख्या पद्धती - स्वाध्याय 1.6

प्र. 6. कापडाचे वेगवेगळे प्रकार पुढील दराने उपलब्ध आहेत :

(a)    ₹ 460 ला 23 मी कापड 

(b) ₹ 912 ला 38 मी कापड

(c) ₹ 375 ला 15 मी कापड 

(d) ₹ 396 ला 18 मी कापड

वरीलपैकी सर्वात स्वस्त आहे —

(A) a    (B) b    (C) c    (D) d

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

सर्वात स्वस्त कापड शोधण्यासाठी आपल्याला प्रत्येक पर्यायामधील कापडाचा प्रति मीटर दर (Price per Meter) काढावा लागेल. यासाठी आपण एकूण किमतीला एकूण मीटरने भागू:

पर्याय (a): ₹ 460 ला 23 मी कापड

दर प्रति मीटर = 460 ÷ 23 = ₹ 20 / मी.

पर्याय (b): ₹ 912 ला 38 मी कापड

दर प्रति मीटर = 912 ÷ 38 = ₹ 24 / मी.

पर्याय (c): ₹ 375 ला 15 मी कापड

दर प्रति मीटर = 375 ÷ 15 = ₹ 25 / मी.

पर्याय (d): ₹ 396 ला 18 मी कापड

दर प्रति मीटर = 396 ÷ 18 = ₹ 22 / मी.

दरांची तुलना (Comparison of Rates):

मिळालेले सर्व दर पुढीलप्रमाणे आहेत:
₹ 20 < ₹ 22 < ₹ 24 < ₹ 25

यातून स्पष्ट होते की, ₹ 20 प्रति मीटर हा दर सर्वात कमी म्हणजेच सर्वात स्वस्त भाव आहे.

---

योग्य पर्याय: (A) a

प्र. 7. विनयला रोज 3 तास याप्रमाणे सतत 15 दिवस काम केल्याबद्दल ₹ 1125 मिळतात; तर त्याला त्याच्या प्रत्येक तासाच्या कामाबद्दल मिळतात —

(A) ₹ 75   (B) ₹ 50   (C) ₹ 42.50   (D) ₹ 25

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी १: एकूण कामाचे तास काढणे (Total Working Hours)

विनय रोज 3 तास काम करतो.
त्याने असे सतत 15 दिवस काम केले आहे.
त्यामुळे, त्याचे 15 दिवसांचे एकूण कामाचे तास = 15 × 3 = 45 तास

पायरी २: प्रति तास मजुरी काढण्याचे सूत्र

त्याला 45 तासांच्या एकूण कामाबद्दल ₹ 1125 मिळतात.
त्यामुळे, प्रत्येक तासाचे पैसे काढण्यासाठी एकूण रकमेला एकूण तासांनी भागावे लागेल:
प्रति तास मजुरी = एकूण मिळालेले पैसे ÷ एकूण तास
प्रति तास मजुरी = 1125 ÷ 45

भागाकार प्रक्रिया (Division Step-by-Step):

45 ) 1125 ( 25
  -  90
 -------
    225
  -  225
 -------
     000

* 45 × 2 = 90 (112 मधून 90 वजा केले असता 22 उरले, वरून 5 घेतला -> 225)
* 45 × 5 = 225 (225 मधून 225 वजा केले असता बाकी 0 उरली)

भागाकार केल्यावर उत्तर 25 येते. म्हणजेच विनयाला त्याच्या प्रत्येक तासाच्या कामाबद्दल ₹ 25 मिळतात.

---

योग्य पर्याय: (D) ₹ 25

प्र. 8. शुक्रवारी 1250 लोक सर्कस बघायला गेले. शुक्रवारच्या तिप्पट लोक शनिवारी सर्कस बघायला गेले. सगळे मिळून या दोन दिवसांत किती लोक सर्कस बघायला गेले ?

(A) 3700    (B) 5000    (C) 2450    (D) 6200

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी १: शुक्रवारी आलेले लोक

उदाहरणात दिल्याप्रमाणे, शुक्रवारी सर्कस बघायला गेलेले एकूण लोक = 1250

पायरी २: शनिवारी आलेले लोक काढणे

शनिवारी शुक्रवारच्या तिप्पट (3 times) लोक सर्कस बघायला गेले.
त्यामुळे, शनिवारी गेलेले लोक = 3 × 1250 = 3750

  1250
×      3
----------
  3750

पायरी ३: दोन दिवसांतील एकूण लोक संख्या (Final Answer)

आपल्याला दोन्ही दिवसांची मिळून एकूण संख्या काढायची आहे:
एकूण लोक = 1250 (शुक्रवार) + 3750 (शनिवार) = 5000

  1250
+ 3750
----------
  5000

---

योग्य पर्याय: (B) 5000

प्र. 9. दोन संख्यांची बेरीज 345678 आहे. जर एक संख्या दुसरीपेक्षा सोळा हजार सोळाने मोठी असेल, तर मोठी संख्या कोणती ?

(A) 164831    (B) 170847    (C) 180847    (D) 329662

उत्तर :

 

स्पष्टीकरण :

पायरी १: संख्या मानणे (Assuming the variables)

समजा, लहान संख्या = x
उदाहरणात दिल्याप्रमाणे, मोठी संख्या लहान संख्येपेक्षा 16016 ने मोठी आहे.
त्यामुळे, मोठी संख्या = x + 16016

पायरी २: समीकरण तयार करणे (Forming the Equation)

दोन्ही संख्यांची बेरीज 345678 आहे.
लहान संख्या + मोठी संख्या = 345678
x + (x + 16016) = 345678
2x + 16016 = 345678

पायरी ३: 'x' ची किंमत काढणे (Solving for x)

2x = 345678 - 16016
2x = 329662
x = 329662 ÷ 2
x = 164831 (ही लहान संख्या आहे)

पायरी ४: मोठी संख्या काढणे (Final Answer)

आपल्याला दोन्हीपैकी मोठी संख्या विचारली आहे:
मोठी संख्या = x + 16016
मोठी संख्या = 164831 + 16016 = 180847

---

योग्य पर्याय: (C) 180847

Video Explanation :