6 वी नवोदय : अंकगणित - संख्या आणि संख्या पद्धती - स्वाध्याय 1.6

 

6 वी नवोदय : अंकगणित - संख्या आणि संख्या पद्धती - स्वाध्याय 1.6

                  इयत्ता 6 वी मध्ये प्रवेश घेण्यासाठी, जवाहर नवोदय विद्यालय यांच्याकडून जी प्रवेश परीक्षा घेतली जाते, तिच्या अंकगणिताच्या प्रकरण 1, संख्या आणि संख्या पद्धती मधील स्वाध्याय 1.6 ची सर्व उदाहरणे इथे सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात खालील टॉपिक वर आधारीत उदाहरणे दिलेली आहेत. 

1) दिलेल्या उदहरणांत जोडमूळ संख्यांची जोड़ी शोधणे. जोडमूळ संख्या म्हणजे अशा मूळ संख्या ज्यांच्यातील फरक हा 2 चा असतो. 

2) दिलेल्या संख्येतील विविध अंकांची स्थानिक किंमत काढ़ने. 

3) दिलेल्या अंकांपासून लहानांत लहान व मोठ्यात मोठी संख्या तयार करणे. 

4) दिलेल्या अंकांपासून त्यांची पुनरावृत्ती करता व पुनरावृत्ती न करता विविध संख्या बनवणे. 

5) दिलेल्या बेरजेत विविध चिन्हांच्या जागी योग्य अंक भरणे. 

6) दिलेल्या अंकांपासून लहानांत लहान किंवा मोठ्यात मोठी सम संख्या किंवा विषम संख्या तयार करणे. 

                या स्वाध्यायातील सर्व उदाहरणांचे अगदी सोप्या पद्धतीने स्पष्टीकरण खाली देण्यात आलेले आहे.

प्र. 1. 3, 4, 0 हे अंक असलेली लहानात लहान पाच अंकी संख्या पुढीलपैकी कोणती ?

(A) 30444   (B) 40333   (C) 30004   (D) 30044

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

दिलेले अंक: 3, 4, 0

पायरी 1: चढता क्रम लावणे

लहानात लहान संख्या बनवण्यासाठी आपल्याला दिलेल्या अंकांचा चढता क्रम लावावा लागेल:

चढता क्रम ⇒ 0, 3, 4

पण, आपण कोणत्याही संख्येच्या सुरुवातीला शून्य (0) लिहू शकत नाही, कारण तसे केल्यास ती संख्या कमी अंकांची (उदा. दोन अंकी) बनेल. म्हणून, शून्यापेक्षा मोठा असलेला लहान अंक म्हणजेच 3 सुरुवातीला येईल.

त्यामुळे सुरुवातीचा क्रम असा होईल: 304

---

पायरी २: पाच अंकी लहानात लहान संख्या तयार करणे

• दिलेले अंक एकूण तीनच आहेत, पण आपल्याला पाच अंकी संख्या बनवायची आहे.
• संख्या लहानात लहान ठेवण्यासाठी, सर्वात लहान अंक म्हणजेच शून्य (0) पुन्हा पुन्हा (रिपीट) वापरावा लागेल.

म्हणून, आवश्यकतेनुसार मध्ये आणखी दोन शून्य वाढवून आपल्याला खालीलप्रमाणे पाच अंकी संख्या मिळेल:

⇒ 30004

योग्य उत्तर: Option (C) 30004

प्र. 2. 1 हा अंक, 1 ते 100 या संख्या लिहिताना किती वेळा लिहावा लागेल ?

(A) 10    (B) 21    (C) 11    (D) 20

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

1 ते 100 या संख्या लिहिताना '१' हा अंक ज्या संख्यांमध्ये येतो, त्या संख्या खालीलप्रमाणे आहेत:

1 ते 20 मधील संख्या:

1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

---

21 ते 100 मधील संख्या:

21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 100

महत्त्वाची नोंद:

'11' या संख्येमध्ये '1' हा अंक दोन वेळा येतो. त्यामुळे मोजणी करताना तो दोन वेळा गृहीत धरावा लागेल.

---

आता आपण एकूण किती वेळा '1' आला ते मोजूया:

• एकक स्थानी (Units place) 1 असणाऱ्या संख्या एकूण 10 आहेत (1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91).
• दशक स्थानी (Tens place) 1 असणाऱ्या संख्या एकूण 10 आहेत (10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19).
• शतक स्थानी (Hundreds place) 1 असणारी संख्या 1 आहे (100).

एकूण बेरीज: 10 + 10 + 1 = 21 वेळा

⇒ एकूण 21 वेळा '1' लिहावा लागेल.

योग्य उत्तर: Option (B) 21

प्र. 3. पुढीलपैकी जोडमूळ संख्यांची जोडी कोणती ?

(A) 13, 15   (B) 29, 31   (C) 73, 75   (D) 69, 71

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

जोडमूळ संख्या (Twin Prime Numbers) म्हणजे काय?

अशा दोन मूळ संख्यांची जोडी ज्यांच्यामध्ये दोनचा (2) फरक असतो, त्यांना जोडमूळ संख्या म्हणतात. (यामध्ये जोडीतील दोन्ही संख्या मूळ संख्या असणे आवश्यक आहे).

---

पर्यायांची पडताळणी (Checking Options):

(A) 13, 15 : ❌ चुकीचा पर्याय
येथे 15 ही मूळ संख्या नाही (कारण 15 ला 3 आणि 5 ने भाग जातो).

(B) 29, 31 : ✅ अचूक पर्याय
येथे 29 आणि 31 या दोन्ही मूळ संख्या आहेत आणि त्यांच्यामध्ये 2 चा फरक आहे (31 - 29 = 2).

(C) 73, 75 : ❌ चुकीचा पर्याय
येथे 75 ही मूळ संख्या नाही (कारण 75 ला 3 आणि 5 ने भाग जातो).

(D) 69, 71 : ❌ चुकीचा पर्याय
येथे 69 ही मूळ संख्या नाही (कारण 69 ला 3 ने भाग जातो).

---

⇒ (29, 31) ही जोडमूळ संख्यांची जोडी आहे.

योग्य उत्तर: Option (B) 29, 31

 अजून वाचून पहा : 6 वी नवोदय : अंकगणित - संख्या आणि संख्या पद्धती - स्वाध्याय 1.3

प्र. 4. 0, 9 आणि 6 या अंकांनी बनणाऱ्या सर्वांत लहान 3 अंकी संख्येचा आणि सर्वांत मोठ्या 3 अंकी संख्येचा गुणाकार आहे –

(A) 99,900   (B) 5,84,640   (C) 66,240   (D) 8,69,760

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

दिलेले अंक: 0, 9, 6

पायरी 1: सर्वात लहान ३ अंकी संख्या तयार करणे

• लहान संख्या बनवण्यासाठी अंकांचा चढता क्रम लावल्यास तो 069 असा होतो.
• परंतु, कोणत्याही संख्येच्या सुरुवातीला '0' लिहिल्यास ती 2 अंकी संख्या (69) बनेल.
• म्हणून, शून्यापेक्षा मोठी असलेली लहान संख्या '6' सुरुवातीला ठेवून शून्य दुसऱ्या स्थानावर लिहावा लागेल.

⇒ सर्वात लहान 3 अंकी संख्या = 609

---

पायरी 2: सर्वात मोठी 3 अंकी संख्या तयार करणे

• मोठी संख्या बनवण्यासाठी दिलेल्या अंकांचा उतरता क्रम लावावा लागेल (9, 6, 0).

⇒ सर्वात मोठी 3 अंकी संख्या = 960

---

पायरी 3: दोन्ही संख्यांचा गुणाकार

आता आपण काढलेल्या दोन्ही संख्यांचा गुणाकार करूया:

6 0 9
× 9 6 0
-----------------
0 0 0
+ 3 6 5 4 0
+ 5 4 8 1 0 0
-----------------
5 8 4 6 4 0

⇒ गुणाकार = 5,84,640

योग्य उत्तर: Option (B) 5,84,640

प्र. 5. चौरस, वर्तुळ आणि त्रिकोण यांमध्ये कोणता अंक आहे ?

(A) 1    (B) 5    (C) 7    (D) 6

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

आकृतीचे निरीक्षण करून प्रत्येक अंकाचे स्थान समजून घेऊया:

(A) 1 हा अंक : ❌ चुकीचा पर्याय
1 हा अंक फक्त आयतामध्ये (Rectangle) येत आहे.

(B) 5 हा अंक : ❌ चुकीचा पर्याय
5 हा अंक चौरस, आयत आणि वर्तुळ या तिन्हींमध्ये सामायिक आहे, पण तो त्रिकोणात नाही.

(C) 7 हा अंक : ✅ अचूक पर्याय
7 हा अंक खालील तिन्ही आकृत्यांच्या सामायिक (Common) भागात येत आहे:

• चौरस (Square)
• वर्तुळ (Circle)
• त्रिकोण (Triangle)

(D) 6 हा अंक : ❌ चुकीचा पर्याय
6 हा अंक चौरस आणि वर्तुळात आहे, पण त्रिकोणात नाही.

---

⇒ 7 हा अंक चौरस, वर्तुळ आणि त्रिकोण या तिन्हींमध्ये सामायिक आहे.

योग्य उत्तर: Option (C) - 7

प्र. 6. X, Y, Z आणि T  या संख्यांमध्ये वापरलेला कमाल अंक 7 आहे व तो प्रत्येक संख्येत एकदाच वापरलेला आहे. बाकीचे अंक ज्ञात नाहीत.

X : * 7 * *          Y : 7 * * *          Z : * * 7 *            T : * * * 7

X, Y, Z आणि T यांमधील कमाल संख्या आहे –

(A) X    (B) Y    (C) Z    (D) T

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

महत्त्वाचे नियम:

• कमाल संख्या म्हणजे सर्वात मोठी संख्या.
• कोणत्याही संख्येमध्ये उजवीकडून डावीकडे जाताना अंकांची स्थानिक किंमत (Place Value) वाढत जाते. त्यामुळे डावीकडील सर्वोच्च स्थानावर मोठा अंक असलेली संख्या सर्वात मोठी असते.
• सर्व संख्यांमध्ये वापरलेला सर्वात मोठा (कमाल) अंक 7 आहे.

---

अंकांच्या स्थानांचे निरीक्षण:

संख्या	रचना	7 या अंकाचे स्थान
X	*7**	7 हा अंक शतकस्थानी (Hundreds place) आहे.
Y	7***	7 हा अंक हजारस्थानी (Thousands place) आहे.
Z	**7*	7 हा अंक दशकस्थानी (Tens place) आहे.
T	***7	7 हा अंक एककस्थानी (Units place) आहे.

येथे Y या संख्येमध्ये सर्वोच्च अंक '7' हा सर्वोच्च स्थानावर (हजारस्थानी) आहे. बाकीच्या संख्यांमध्ये हजारस्थानावरील अंक 7 पेक्षा लहान असणार आहेत कारण प्रश्नानुसार 7 हाच कमाल अंक आहे.

⇒ Y ही कमाल (सर्वात मोठी) संख्या असेल.

योग्य उत्तर: Option (B) - Y

प्र. 7. 3, 0, 8, 2, 7 हे अंक एकेकदा घेऊन बनणारी पाच अंकी लहानात लहान विषम संख्या कोणती ?

(A) 20783   (B) 20837   (C) 20387   (D) 20873

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

दिलेले अंक: 3, 0, 8, 2, 7

पायरी 1: पाच अंकी लहानात लहान संख्या तयार करणे

• लहानात लहान संख्या तयार करण्यासाठी दिलेल्या अंकांचा चढता क्रम लावावा लागेल: 02378
• परंतु, कोणत्याही संख्येच्या सुरुवातीला आपण शून्य (0) लिहीत नाही, कारण तसे केल्यास ती चार अंकी संख्या बनेल.
• म्हणून, शून्यापेक्षा मोठा असलेला लहान अंक म्हणजेच 2 सुरुवातीला ठेवून शून्य दुसऱ्या स्थानावर लिहावा लागेल.

⇒ पाच अंकी लहानात लहान संख्या = 20378

---

पायरी 2: विषम संख्येची अट पूर्ण करणे

विषम संख्या (Odd Number) म्हणजे ज्या संख्येच्या एकक स्थानी (शेवटी) 1, 3, 5, 7 किंवा 9 यांपैकी एखादा अंक येतो.

• आपण बनवलेली संख्या 20378 ही सम (Even) संख्या आहे कारण तिच्या शेवटी '8' आहे.
• संख्या लहानात लहान ठेवून विषम बनवण्यासाठी, आपल्याला शेवटच्या दोन अंकांची (किंवा आवश्यकतेनुसार बदल करून) अदलाबदल करावी लागेल.
• शेवटचे उपलब्ध विषम अंक 3 आणि 7 आहेत. संख्या शक्य तितकी लहान ठेवण्यासाठी एकक स्थानी सर्वात मोठा विषम अंक 7 पाठवावा लागेल.
• त्यामुळे शेवटच्या दोन स्थानावरील अंकांची रचना बदलून '8' दशकस्थानी आणि '7' एककस्थानी येईल.

⇒ 20387

योग्य उत्तर: Option (C) - 20387

प्र. 8. पुढील बेरजेमध्ये गायब असलेले अंक शोधून काढा :

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

दिलेली बेरीज आपण उजवीकडून डावीकडे म्हणजेच एकक स्थानाकडून सोडवत जाऊया:

पायरी 1: एकक स्थान (Units Place)

एकक स्थानावरील अंकांची बेरीज: 8 + 7 = 15
येथे उत्तराच्या जागी 5 लिहिला आहे आणि हातचा (Carry) 1 दशक स्थानी जाईल.

---

पायरी 2: दशक स्थान (Tens Place)

दशक स्थानावरील अंकांची बेरीज: 1 (हातचा) + ✪ + 3 = 5
⇒ 4 + ✪ = 5
⇒ ✪ = 5 - 4
⇒ ✪ = 1

---

पायरी 3: शतक स्थान (Hundreds Place)

येथे मागील पायरीवरून कोणताही हातचा आलेला नाही.
शतक स्थानावरील अंकांची बेरीज: 2 + 🟊 = 1
बेरीज १ येत आहे म्हणजेच ती प्रत्यक्षात 11 असणार आहे. (ज्यापैकी 1 खाली लिहिला असून हातचा 1 हजार स्थानी जाईल).
⇒ 2 + 🟊 = 11
⇒ 🟊 = 11 - 2
⇒ 🟊 = 9

---

पायरी 4: हजार स्थान (Thousands Place)

हजार स्थानावरील अंकांची बेरीज: 1 (हातचा) + ✱ + 4 = 8
⇒ 5 + ✱ = 8
⇒ ✱ = 8 - 5
⇒ ✱ = 3

चिन्हांच्या किमती:

✱ = 3

✪ = 1

🟊 = 9

⇒ ✱ = 3, ✪ = 1, 🟊 = 9

योग्य उत्तर: Option (C)

प्र. 9. 5,84,356 या संख्येतील 5 च्या स्थान मूल्यांची बेरीज किती आहे ?

(A) 10   (B) 50,050   (C) 5,050   (D) 5,00,050

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

दिलेली संख्या: 5,84,356

या संख्येमध्ये '5' हा अंक दोन वेगवेगळ्या स्थानांवर आलेला आहे. आपण दोन्ही स्थानावरील '5' ची स्थानिक किंमत (Place Value) शोधूया:

१) पहिल्या '5' चे स्थान मूल्य (दशक स्थान):

हा 5 दशक (Tens) स्थानावर आहे.
⇒ स्थानिक किंमत = 5 × 10 = 50

---

२) दुसऱ्या '5' चे स्थान मूल्य (लाख स्थान):

हा 5 लाख (Lakhs) स्थानावर आहे.
⇒ स्थानिक किंमत = 5 × 1,00,000 = 5,00,000

---

स्थान मूल्यांची बेरीज:

आता दोन्ही स्थानिक किमतींची बेरीज करूया:

5 0 0 0 0 0
+ 5 0
----------------
5 0 0 0 5 0

⇒ एकूण बेरीज = 5,00,050

योग्य उत्तर: Option (D) 5,00,050

 Video Explanation :