6 वी नवोदय : अंकगणित - संख्या आणि संख्या पद्धती - स्वाध्याय 1.4

6 वी नवोदय : अंकगणित - संख्या आणि संख्या पद्धती - स्वाध्याय 1.4

                इयत्ता 6 वी मध्ये, नवोदय विद्यालयात प्रवेश घेण्यासाठी, नवोदय विद्यालयातर्फे जी प्रवेश परीक्षा घेतली जाते तिच्या अंकगणिताच्या प्रकरण 1, संख्या आणि संख्या पद्धती मधील स्वाध्याय 1.4 ची सर्व उदाहरणे सोप्या पद्धतीने या पोस्ट मध्ये सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात दिलेल्या संख्येतील अंकांच्या स्थानांची अदलाबदल करून नवीन संख्या तयार करने आणि दिलेली संख्या व  अंकांची अदलाबदल करून मिळणारी संख्या यांतील फरक काढ़ने यासारखी उदाहरणे दिलेली आहेत. 

                        याचबरोबर या स्वाध्यायात मूळ संख्या, प्राकृतिक (नैसर्गिक) संख्या आणि संयुक्त संख्या यांची सुद्धा माहिती देण्यात आलेली आहे. 

मूळ संख्या : अशा संख्या ज्या फक्त 1 च्या आणि स्वत:च्या पाढ्यात येतात इतर कुणाच्याही पाढ्यात येत नाहीत. 

प्राकृतिक (नैसर्गिक) संख्या : 1 पासून सुरू होतात तर जीथपर्यंत मोजता येतील तिथपर्यंत 

संयुक्त संख्या : अशा संख्या ज्या 1 च्या आणि स्वत:च्या पाढ्यात तर येतातच या व्यतिरिक्त इतर पाढ्यातही येतात. 

या स्वाध्यायातील सर्व उदाहरणांचे अगदी सोप्यात सोप्या पद्धतीने स्पष्टीकरण खाली देण्यात आलेले आहे.

प्र. 1. 1 ते 20 या नैसर्गिक संख्यांमध्ये मूळ संख्यांची बेरीज किती ?

(A) 75    (B) 80    (C) 79    (D) 77

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

१) 1 ते 20 या संख्यांमधील मूळ संख्या (Prime Numbers):
मूळ संख्या म्हणजे अशा संख्या ज्यांना फक्त १ ने किंवा त्याच संख्येने भाग जातो. १ ते २० दरम्यान एकूण ८ मूळ संख्या येतात:
⇒ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

२) या सर्व मूळ संख्यांची बेरीज करू:
⇒ 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19

सोप्या पद्धतीने बेरीज करण्यासाठी गट पाडूया:
• (2 + 3 + 5 + 7) = 17
• (11 + 19) = 30
• (13 + 17) = 30
⇒ बेरीज: 17 + 30 + 30 = 77

योग्य उत्तर: पर्याय (D) 77

 

अजून वाचून पहा : 6 वी नवोदय : अंकगणित - संख्या आणि संख्या पद्धती - स्वाध्याय 1.2 

प्र. 2. दोन अंकांच्या प्राकृतिक (नैसर्गिक) संख्यांची संख्या आहे :

(A) 89    (B) 90    (C) 91    (D) 99

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

१) प्राकृतिक (नैसर्गिक) संख्या (Natural Numbers) : 
१ पासून सुरू होणाऱ्या मोजसंख्यांना नैसर्गिक संख्या म्हणतात.
⇒ 1, 2, 3, 4, 5, ...., 99, 100, ...

२) दोन अंकी संख्यांची व्याप्ती (Range) :
दोन अंकी संख्यांची सुरुवात 10 पासून होते आणि शेवट 99 वर होतो.
म्हणजेच आपल्याला 10 पासून 99 पर्यंत एकूण किती संख्या आहेत हे शोधायचे आहे.

एकूण दोन अंकी संख्या काढण्याची सोपी पद्धत (सूत्र):

• सर्वात मोठी दोन अंकी संख्या = 99
• सर्वात लहान दोन अंकी संख्या = 10

सूत्र: (सर्वात मोठी संख्या − सर्वात लहान संख्या) + 1

⇒ (99 − 10) + 1
⇒ 89 + 1 = 90

दुसरी सोपी पद्धत: 1 ते 99 पर्यंत एकूण 99 संख्या आहेत. त्यामधून 1 ते 9 पर्यंतच्या सर्व एक अंकी संख्या (एकूण 9 संख्या) वजा केल्यास:
99 − 9 = 90 संख्या शिल्लक राहतात.

योग्य उत्तर: पर्याय (B) 90

प्र. 3. दोन मूळ संख्यांच्या गुणाकाराने मिळणारी पुढीलपैकी सर्वांत लहान संख्या कोणती ?

(A) 32   (B) 33   (C) 34   (D) 35

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

प्रश्नात विचारल्यानुसार, आपल्याला दिलेल्या पर्यायांपैकी अशी संख्या शोधायची आहे जी दोन मूळ संख्यांच्या (Prime Numbers) गुणाकाराने तयार होते आणि ती सर्वात लहान असेल. आपण सर्व पर्यायांचे अवयव (Factors) पाडून पाहूया:

पर्याय	गुणाकार रूप / अवयव	निष्कर्ष (Analysis)
(A) 32	2 × 2 × 2 × 2 × 2	ही मूळ संख्यांच्या गुणाकाराने बनत नाही (यात केवळ एकच मूळ संख्या '२' पुन्हा पुन्हा आली आहे).
(B) 33	3 × 11	येथे ३ आणि ११ या दोन्ही वेगवेगळ्या मूळ संख्या आहेत. त्यामुळे हा नियम पूर्ण करतो.
(C) 34	2 × 17	येथे २ आणि १७ या मूळ संख्या आहेत, परंतु ही संख्या ३३ पेक्षा मोठी आहे.
(D) 35	5 × 7	येथे ५ आणि ७ या मूळ संख्या आहेत, परंतु ही देखील ३३ पेक्षा मोठी आहे.

किमान अटीनुसार, पर्याय (B), (C) आणि (D) या तिन्ही संख्या दोन मूळ संख्यांच्या गुणाकाराने बनतात. परंतु, या सर्वांमध्ये 33 ही सर्वात लहान संख्या आहे.

योग्य उत्तर: पर्याय (B) 33

 

प्र. 4. पहिल्या चार मूळ (Prime) संख्यांची बेरीज आहे ...................

(A) 10    (B) 11    (C) 26    (D) 17

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

१) पहिल्या चार मूळ संख्या (First Four Prime Numbers):
मूळ संख्या म्हणजेच अशा संख्या ज्यांना केवळ १ ने किंवा त्याच संख्येने पूर्ण भाग जातो. गणितातील पहिल्या चार क्रमिक मूळ संख्या खालीलप्रमाणे आहेत:
⇒ 2, 3, 5, 7

*टीप: '१' ही संख्या मूळ संख्याही नाही आणि संयुक्त संख्याही नाही. सर्वात लहान मूळ संख्या '२' पासून सुरू होते.

२) या संख्यांची बेरीज करू:

⇒ 2 + 3 + 5 + 7

⇒ 5 + 5 + 7 = 17

योग्य उत्तर: पर्याय (D) 17

 

प्र. 5. जर 36490 या संख्येतील 6 आणि 9 यांच्या अंकस्थानांची अदलाबदल केली, तर येणारी संख्या व मूळ संख्या यांच्यातील फरक असेल –

(A) 2970    (B) 3030    (C) 2070    (D) 2790

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

१) दिलेली मूळ संख्या:
दिलेली संख्या = 36,490 आहे.

२) अंकांची अदलाबदल (Digit Interchanging):
प्रश्नानुसार, या संख्येतील '6' आणि '9' या दोन अंकांच्या स्थानांची आपापसात अदलाबदल करायची आहे.
⇒ अदलाबदल करून मिळणारी नवीन संख्या = 39,460

३) नवीन संख्या व मूळ संख्या यांच्यातील फरक (वजाबाकी):

	8	13	16
	3	9	4	6	0
−	3	6	4	9	0
	0	2	9	7	0

योग्य उत्तर: पर्याय (A) 2970

 

अजून वाचून पहा : 6 वी नवोदय : अंकगणित - संख्या आणि संख्या पद्धती - स्वाध्याय 1.1 

प्र. 6. पुढीलपैकी कोणती संख्या ही संयुक्त संख्या आहे ?

(A) 17    (B) 29    (C) 15    (D) 97

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

संयुक्त संख्या (Composite Number) म्हणजे काय?
अशी संख्या जी १ पेक्षा मोठी असते आणि जिला १ व ती स्वतः सोडून इतर संख्यांनी सुद्धा पूर्ण भाग जातो (म्हणजेच ती संख्या इतर संख्यांच्या पाढ्यात देखील येते).

दिलेल्या पर्यायांचे विश्लेषण करूया:

• 17 : ही एक मूळ संख्या (Prime Number) आहे, कारण या संख्येला फक्त १ आणि १७ नेच भाग जातो.

• 29 : ही सुद्धा एक मूळ संख्या (Prime Number) आहे, कारण या संख्येला फक्त १ आणि २९ नेच भाग जातो.

• 15 : ही संयुक्त संख्या (Composite Number) आहे. कारण १५ ला १ आणि १५ व्यतिरिक्त ३ च्या आणि ५ च्या पाढ्यात सुद्धा स्थान आहे (३ × ५ = १५).

• 97 : ही १ ते १०० मधील सर्वात मोठी मूळ संख्या (Prime Number) आहे.

योग्य उत्तर: पर्याय (C) 15

 

प्र. 7. 9, 5, 0, 2, 4 या अंकांचा वापर करून बनणारी किमान पाच अंकी संख्या आहे ?

(A) 20954    (B) 20459    (C) 20549    (D) 20495

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

१) दिलेले अंक:
आपल्याला 9, 5, 0, 2, 4 हे पाच अंक दिले आहेत.

२) किमान (लहानात लहान) संख्या बनवण्याचा नियम:
लहानात लहान संख्या तयार करण्यासाठी दिलेल्या अंकांचा चढता क्रम (Ascending Order) लावावा लागतो.
⇒ अंकांचा चढता क्रम: 0 < 2 < 4 < 5 < 9

चुकीची मांडणी ⇒ 02459

३) शून्याचा (0) महत्त्वाचा नियम:

कोणत्याही संख्येच्या सुरुवातीला (पहिल्या स्थानावर) '०' लिहिल्यास त्याला मूल्य राहत नाही आणि ती संख्या ५ अंकी न राहता ४ अंकी बनते.
म्हणून, शून्य नेहमी दुसऱ्या स्थानावर लिहिला जातो आणि त्याच्या आधी शून्यापेक्षा मोठी असलेली सर्वात लहान संख्या लिहितात.

त्यामुळे, पहिल्या स्थानावर '2' येईल आणि दुसऱ्या स्थानावर '0' येईल.
⇒ योग्य ५ अंकी किमान संख्या: 20,459

योग्य उत्तर: पर्याय (B) 20459

Video Explanation :