6 वी नवोदय : अंकगणित - पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 2.3

 

6 वी नवोदय : अंकगणित - पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 2.3

                 पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया, स्वाध्याय 2.3 या इयत्ता 6 वी नवोदय परीक्षेच्या अंकगणिताच्या प्रकरण 2, मधील सर्व उदाहरणे या पोस्ट मध्ये सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात खालील टॉपिक वर आधारीत उदाहरणे दिलेली आहेत. 

1) मोज्यांची आणि टोप्यांची किंमत यांच्यातील संबंध समीकरणाच्या स्वरूपात दिलेला आहे त्यावरून मोज्यांच्या 2 जोड्या आणि 4 टोप्या यांची एकूण किंमत काढ़ायला सांगितलं आहे.    

2) असे दोन अंक शोधायला सांगितले आहेत ज्यांची बेरीज 8 आहे आणि त्यांचाच गुणाकार 15 आहे. ते अंक शोधून त्यांच्या उभयपक्षांची (Reciprocals) बेरीज किती असेल, यावर आधारीत सुद्धा एक प्रश्न विचारला आहे. 

3) एका उदाहरणामध्ये -1 ला त्यानेच 100 वेळा गुणल्यावर गुणाकार काय येईल या संबंधीचा प्रश्न सुद्धा विचारलेला आहे. 

4) एखाद्या परिक्षेत 3 विद्यार्थ्यांना मिळालेले गुण गणितीय भाषेत दिलेले आहेत, त्यावरून समीकरण बनवून तिघांपैकी कुणातरी एका विदयार्थ्याचे गुण काढ़ायला सांगितले आहे. अशा प्रकारची 3 उदाहरणे या स्वाध्यायात दिलेली आहेत.  

5) एका उदाहरणामध्ये एखादी संख्या दिलेली आहे आणि या संख्येला अजून एका संख्येने पूर्ण भाग दिल्यावर काय भागाकार येईल, अशी सुद्धा प्रश्न विचारलेली आहेत. 

6) अशी विविध प्रकारची 7 प्रश्न या स्वाध्याय 2.3 मध्ये विचारलेली आहेत. 

7) या स्वाध्यायातील सर्व उदाहरणांचे अगदी सोप्या पद्धतीने स्पष्टीकरण या पोस्ट मध्ये देण्यात आलेले आहे.

प्र. 1. -1 ला त्यानेच 100 वेळा गुणल्यावर गुणाकार येतो ?

(A) 1    (B) -1    (C) 100    (D) -100

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

उदाहरणात आपल्याला -1 ला त्यानेच 100 वेळा गुणण्यास सांगितले आहे.

म्हणजेच: -1 × -1 × -1 × -1 × -1 × ... (100 वेळा) = (-1)¹⁰⁰

महत्त्वाचा नियम:

• जेव्हा ऋण संख्येचा घातांक (Power) सम संख्या (Even Number) असतो, तेव्हा उत्तर नेहमी धन (+) येते. (उदा. ज्या संख्येच्या शेवटी 0, 2, 4, 6, 8 हे अंक असतात.)
• जेव्हा ऋण संख्येचा घातांक (Power) विषम संख्या (Odd Number) असतो, तेव्हा उत्तर नेहमी ऋण (-) येते. (उदा. ज्या संख्येच्या शेवटी 1, 3, 5, 7, 9 हे अंक असतात.)

---

उत्तर कसे आले?

येथे घातांक (Power) 100 आहे. या संख्येच्या शेवटी 0 हा अंक आहे, म्हणजेच ही एक सम संख्या (Even Number) आहे.

नियमानुसार, वजा (ऋण) संख्येचा घातांक सम संख्या असल्यास उत्तर धन (+) येते.

∴ (-1)¹⁰⁰ = +1
त्यामुळे योग्य पर्याय (A) आहे.

 

प्र. 2. एका मोज्यांच्या जोडीची किंमत टोपीच्या किमतीच्या दुप्पट आहे. जर मोज्यांच्या 5 जोड्यांची किंमत ₹ 1250 असेल, तर मोज्यांच्या 2 जोड्या आणि 4 टोप्या कितीला पडतील ?

(A) ₹ 1050   (B) ₹ 1000   (C) ₹ 950   (D) ₹ 1250

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी 1: किंमत मानूया (Let's assume the price)

समजा, एका टोपीची किंमत x रुपये आहे.

उदाहरणात दिल्याप्रमाणे, एका मोज्यांच्या जोडीची किंमत टोपीच्या किमतीच्या दुप्पट आहे.
∴ एका मोज्यांच्या जोडीची किंमत = 2x

पायरी 2: 'x' ची किंमत काढूया (Find the value of x)

आपल्याला माहिती आहे की मोज्यांच्या 5 जोड्यांची किंमत ₹ 1250 आहे.

5 × (2x) = 1250
10x = 1250
x = 1250 / 10
x = 125

∴ एका टोपीची किंमत (x) = ₹ 125
∴ एका मोज्यांच्या जोडीची किंमत (2x) = 2 × 125 = ₹ 250

---

पायरी 3: एकूण किंमत काढूया (Calculate final price)

आता आपल्याला 2 मोज्यांच्या जोड्या आणि 4 टोप्यांची एकूण किंमत काढायची आहे:

= (2 × मोज्यांच्या जोडीची किंमत) + (4 × टोपीची किंमत)
= (2 × 250) + (4 × 125)
= 500 + 500
= 1000

एकूण किंमत = ₹ 1000
त्यामुळे योग्य पर्याय (B) आहे.

अजून वाचून पहा : 6 वी नवोदय : अंकगणित - पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 2.2

प्र. 3. दोन अंकांची बेरीज 8 आणि त्यांचा गुणाकार 15 आहे. त्यांच्या उभयपक्षांची (Reciprocals) बेरीज असेल :

(A) 8/15   (B) 15/8   (C) 23   (D) 7

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी 1: त्या दोन संख्या शोधूया

उदाहरणात आपल्याला असे दोन अंक शोधायचे आहेत ज्यांची बेरीज 8 आणि गुणाकार 15 असेल.

• बेरीज ⇒ 3 + 5 = 8
• गुणाकार ⇒ 3 × 5 = 15

म्हणजेच, आपल्याला शोधायचे असलेले दोन अंक 3 आणि 5 आहेत.

---

पायरी 2: उभयपक्षांची (Reciprocals) बेरीज करूया

उभयपक्ष (Reciprocal) म्हणजे दिलेल्या संख्येचा व्यस्त (गुणाकार व्यस्त).
त्यामुळे 3 चा व्यस्त 1/3 होईल आणि 5 चा व्यस्त 1/5 होईल.

आता यांची बेरीज करूया:

= 1 3 + 1 5 (छेद समान करावे लागतील)

= 5 + 3 15

= 8 15

शॉर्टकट ट्रिक (Shortcut Trick):
व्यस्तांची बेरीज (Sum of Reciprocals) = संख्यांची बेरीज संख्यांचा गुणाकार = 8 15

उत्तर = 8/15
त्यामुळे योग्य पर्याय (A) आहे.

 

प्र. 4. एका परीक्षेत, रमेशला गुरुदासपेक्षा 15 गुण जास्त मिळाले, तर लीलाला त्याच परीक्षेत गुरुदासपेक्षा 7 गुण कमी मिळाले. जर त्यांना तिघांना मिळून 83 गुण मिळाले असतील, तर गुरुदासला मिळालेले गुण शोधून काढा.

(A) 18    (B) 25    (C) 40    (D) 35

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी 1: मिळालेले गुण समजूया (Assume the marks)

उदाहरणात रमेश आणि लीला दोघांच्या गुणांची तुलना गुरुदासच्या गुणांशी केली आहे. म्हणून आपण गुरुदासचे गुण x मानूया.

• समजा, गुरुदासला मिळालेले गुण = x
• रमेशला गुरुदासपेक्षा 15 गुण जास्त मिळाले आहेत:
  ∴ रमेशला मिळालेले गुण = x + 15
• लीलाला गुरुदासपेक्षा 7 गुण कमी मिळाले आहेत:
  ∴ लीलाला मिळालेले गुण = x - 7

---

पायरी 2: समीकरण तयार करून 'x' ची किंमत काढूया

उदाहरणात दिल्याप्रमाणे, तिघांना मिळून एकूण 83 गुण मिळाले आहेत.

समीकरण:
गुरुदासचे गुण + रमेशचे गुण + लीलाचे गुण = 83

x + (x + 15) + (x - 7) = 83
3x + 8 = 83
3x = 83 - 8
3x = 75
x = 75 / 3
x = 25

---

आपण गुरुदासला मिळालेले गुण x मानले होते, आणि आपल्याला x = 25 मिळाले आहे.

गुरुदासला मिळालेले गुण = 25
त्यामुळे योग्य पर्याय (B) आहे.

 

प्र. 5. 1836 या संख्येला 17 ने भागले असता येणारा भागाकार कोणता ?

(A) 108    (B) 18    (C) 17    (D) 0

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

उदाहरणात आपल्याला 1836 या संख्येला 17 ने भागायचे आहे. बऱ्याचदा घाईघाईत विद्यार्थी येथे मधला '0' द्यायला विसरतात, त्यामुळे हा भागाकार पायरी-बाय-पायरी समजून घेऊया:

भागाकाराच्या पायऱ्या (Steps of Division):

1. प्रथम 1836 मधील पहिल्या दोन अंकांना (18) भाग देऊया:
   17 × 1 = 17 (18 मधून 17 वजा केल्यावर 1 उरतो). भागाकारात वर 1 लिहूया.
2. आता वरून पुढील अंक 3 खाली घेऊया. त्यामुळे खाली संख्या 13 तयार होते.
3. महत्त्वाची पायरी:

संख्या 13 ही 17 पेक्षा लहान आहे, म्हणून आपल्याला 17 ने 0 चा भाग द्यावा लागेल:
17 × 0 = 0 (13 मधून 0 वजा केल्यावर पुन्हा 13 उरतात). भागाकारात वर 1 च्या पुढे 0 लिहूया.

4. आता वरून शेवटचा अंक 6 खाली घेऊया. त्यामुळे खाली संख्या 136 तयार होते.
5. आता 17 चा पाढा 136 येईपर्यंत म्हणूया:
   17 × 8 = 136 (136 मधून 136 वजा केल्यावर बाकी 0 उरते). भागाकारात वर 0 च्या पुढे 8 लिहूया.

---

भागाकार मांडणी:

108 ← भागाकार (Quotient) _______ 17 ) 1836 - 17 _______ 13 - 0 ← (13 लहान असल्याने 0 चा भाग दिला) _______ 136 - 136 _______ 000 ← बाकी (Remainder)

येणारा भागाकार = 108
त्यामुळे योग्य पर्याय (A) आहे.

 

प्र. 6. एका परीक्षेत करीमने रहीमपेक्षा 15 गुण जास्त मिळवले. मदनला रहीमपेक्षा 10 गुण कमी मिळाले. तिघांना मिळून 110 गुण मिळाले. करीमला किती गुण मिळाले होते ?

(A) 25    (B) 35    (C) 40    (D) 50

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी 1: गुण मानूया (Assume the marks)

प्रश्नात करीम आणि मदन या दोघांच्या गुणांची तुलना रहीमच्या गुणांशी केली आहे. म्हणून आपण रहीमचे गुण x मानूया.

• समजा, रहीमला मिळालेले गुण = x
• करीमने रहीमपेक्षा 15 गुण जास्त मिळवले आहेत:
  ∴ करीमला मिळालेले गुण = x + 15
• मदनला रहीमपेक्षा 10 गुण कमी मिळाले आहेत:
  ∴ मदनला मिळालेले गुण = x - 10

---

पायरी 2: समीकरण तयार करून 'x' ची किंमत काढूया

उदाहरणात दिल्याप्रमाणे, तिघांना मिळून एकूण 110 गुण मिळाले आहेत.

समीकरण:
रहीमचे गुण + करीमचे गुण + मदनचे गुण = 110

x + (x + 15) + (x - 10) = 110
3x + 5 = 110
3x = 110 - 5
3x = 105
x = 105 / 3
x = 35

∴ रहीमला मिळालेले गुण (x) = 35

---

पायरी 3: करीमचे गुण शोधूया

आपल्याला प्रश्नात करीमचे गुण विचारले आहेत:

करीमचे गुण = x + 15
= 35 + 15
= 50

करीमला मिळालेले गुण = 50
त्यामुळे योग्य पर्याय (D) आहे.

 

प्र. 7. एका परीक्षेत जोसेफला अमितपेक्षा 8 गुण कमी पडले. कुमारला अमितपेक्षा 12 गुण जास्त मिळाले. सगळ्यांना मिळून त्यांना एकूण 205 गुण मिळाले. जोसेफला किती गुण मिळाले ?

(A) 67    (B) 79    (C) 59    (D) 75

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी 1: गुण मानूया (Assume the marks)

प्रश्नात जोसेफ आणि कुमार या दोघांच्या गुणांची तुलना अमितच्या गुणांशी केली आहे. म्हणून आपण अमितचे गुण x मानूया.

• समजा, अमितला मिळालेले गुण = x
• जोसेफला अमितपेक्षा 8 गुण कमी पडले आहेत:
  ∴ जोसेफला मिळालेले गुण = x - 8
• कुमारला अमितपेक्षा 12 गुण जास्त मिळाले आहेत:
  ∴ कुमारला मिळालेले गुण = x + 12

---

पायरी 2: समीकरण तयार करून 'x' ची किंमत काढूया

उदाहरणात दिल्याप्रमाणे, सगळ्‍यांना मिळून एकूण 205 गुण मिळाले आहेत.

समीकरण:
अमितचे गुण + जोसेफचे गुण + कुमारचे गुण = 205

x + (x - 8) + (x + 12) = 205
3x + 4 = 205
3x = 205 - 4
3x = 201
x = 201 / 3
x = 67

∴ अमितला मिळालेले गुण (x) = 67

---

पायरी 3: जोसेफचे गुण शोधूया

आपल्याला प्रश्नात जोसेफचे गुण विचारले आहेत:

जोसेफचे गुण = x - 8
= 67 - 8
= 59

जोसेफला मिळालेले गुण = 59
त्यामुळे योग्य पर्याय (C) आहे.

 

Video Explanation :