6 वी नवोदय : अंकगणित - पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 2.2
6 वी नवोदय : अंकगणित - पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 2.2
पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया, या इयत्ता 6 वी नवोदय विद्यालय प्रवेश परीक्षेच्या अंकगणिताच्या प्रकरण 2, मधील स्वाध्याय 2.2 ची सर्व उदाहरणे या पोस्ट मध्ये सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात खालील पद्धतीची उदाहरणे दिलेली आहेत.
1) दिलेल्या उदाहरणांत मोठ्यात मोठी 5 अंकी संख्या आणि मोठ्यात मोठी 4 अंकी संख्या यांची बेरीज करायला सांगितल आहे.
2) दिलेल्या संख्येला एखाद्या संख्येने नि:षेश भाग जातो का ? या संबंधितची उदाहरणे सुद्धा या स्वाध्यायात विचारण्यात आलेली आहेत.
3) काही उदाहरणांमध्ये पदावल्या दिलेल्या आहेत त्यांना BODMAS चा नियम वापरुन सोड़वायच आहे.
प्र. 1. दोन संख्यांची बेरीज 125600 आहे. जर एक संख्या दुसरीपेक्षा 14400 ने कमी असेल, तर दोन्हीपैकी लहान संख्या कोणती ?
(A) 70000 (B) 84400 (C) 55600 (D) 6280
उत्तर :
स्पष्टीकरण :
उदाहरणातील अटींनुसार समीकरणाची मांडणी खालीलप्रमाणे करूया:
-
पायरी 1: मोठी संख्या गृहीत धरू
समजा, मोठी संख्या = x -
पायरी 2: लहान संख्या मांडू
दिलेल्या माहितीनुसार, एक संख्या दुसरीपेक्षा 14,400 ने लहान आहे.
त्यामुळे, लहान संख्या = x - 14,400 -
पायरी 3: समीकरण तयार करू
दोन्ही संख्यांची बेरीज 125,600 आहे:
लहान संख्या + मोठी संख्या = 125,600
(x - 14,400) + x = 125,600
समीकरण सोडवणे:
2x = 125,600 + 14,400
2x = 140,000
x = 140,000 / 2
x = 70,000
अंतिम उत्तर शोधू:
आता आपल्याला x ची किंमत मिळाली आहे, त्यावरून दोन्ही संख्या खालीलप्रमाणे मिळतील:
| मोठी संख्या (x) | 70,000 |
| लहान संख्या (x - 14,400) | 70,000 - 14,400 = 55,600 |
प्र. 2. ( Bigstar / Delta) - Square = Dot यांत Bigstar =
18, Delta = 2 व Square = 4 असताना Dot ची किंमत काढा.
(A) 14 (B) 9 (C) 5 (D) 3
उत्तर :
स्पष्टीकरण :
उदाहरणात दिलेल्या चिन्हांच्या किमती समीकरणात ठेवून BODMAS नियम वापरून उत्तर शोधूया:
-
पायरी 1: दिलेल्या किमती मांडू
चिन्हांच्या दिलेल्या किमती खालीलप्रमाणे आहेत:
⭐ = 18, Δ = 2, ▢ = 4 -
पायरी 2: समीकरणात किमती भरू
मूळ समीकरण: (⭐ ÷ Δ) - ▢ = ☉
किमती ठेवल्यानंतर: (18 ÷ 2) - 4 = ☉ -
पायरी 3: आधी कंस (Bracket) सोडवू
नियम पाहता, सर्वात आधी कंसातील भागाकार करावा लागेल:
18 ÷ 2 = 9
अंतिम वजाबाकी:
5 = ☉
म्हणून, ☉ ची किंमत 5 आहे.
अजून वाचून पहा : 6 वी नवोदय : अंकगणित - पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 2.1
(A) 108999 (B)
109998 (C) 1089 (D) 109999
उत्तर :
स्पष्टीकरण :
उदाहरणात विचारल्याप्रमाणे सर्वात मोठ्या संख्यांची मांडणी करून त्यांची बेरीज करूया:
-
पायरी 1: मोठ्यात मोठी 5 अंकी संख्या लिहिणे
कोणतीही मोठ्यात मोठी संख्या लिहिताना '9' हा अंक वापरतात.
मोठ्यात मोठी 5 अंकी संख्या = 99,999 -
पायरी 2: मोठ्यात मोठी 4 अंकी संख्या लिहिणे
मोठ्यात मोठी 4 अंकी संख्या = 9,999
दोन्ही संख्यांची बेरीज (Addition):
आता आपण या दोन्ही संख्यांची उभी मांडणी करून बेरीज करू (हातचा योग्य ठिकाणी धरून):
+ 9,999
109,998
प्र. 4. सर्वात मोठी
तीन अंकी संख्या सर्वांत लहान चार अंकी संख्येतून वजा केल्यास येणारे उत्तर आहे —
(A) 101 (B)
1001 (C) 11 (D) 1
उत्तर :
स्पष्टीकरण :
उदाहरणात दिलेल्या अटींनुसार संख्यांची मांडणी करून वजाबाकी करूया:
-
पायरी 1: सर्वात लहान 4 अंकी संख्या लिहिणे
सर्वात लहान 4 अंकी संख्या = 1,000 -
पायरी 2: सर्वात मोठी 3 अंकी संख्या लिहिणे
सर्वात मोठी 3 अंकी संख्या = 999
संख्यांची वजाबाकी (Subtraction):
आता आपण सर्वात लहान 4 अंकी संख्येतून सर्वात मोठी 3 अंकी संख्या वजा करूया:
- 999
1
प्र. 5. (1 + 2 - 3)
+ (4 + 5 - 9) + (6 + 7 - 13) + (8 + 9 - 17) + (12 + 13 - 25) याला सरळरूप
दिल्यावर उत्तर येते —
(A) -16 (B) 1 (C) 0
(D) 127
उत्तर :
स्पष्टीकरण :
BODMAS नियमानुसार, सर्वात आधी आपण प्रत्येक कंस (Bracket) स्वतंत्रपणे सोडवून घेऊया:
-
पायरी 1: प्रत्येक कंसातील पहिल्या दोन अंकांची बेरीज करू
मूल पदावली: (1 + 2 - 3) + (4 + 5 - 9) + (6 + 7 - 13) + (8 + 9 - 17) + (12 + 13 - 25)
बेरीज केल्यानंतर मांडणी अशी होईल:
= (3 - 3) + (9 - 9) + (13 - 13) + (17 - 17) + (25 - 25) -
पायरी 2: प्रत्येक कंसातील वजाबाकी करू
प्रत्येक कंसाचे उत्तर शून्य (0) येईल:
= 0 + 0 + 0 + 0 + 0
अंतिम उत्तर:
सर्व शून्यांची बेरीज केल्यास अंतिम उत्तर 0 येते.
प्र. 6. पुढीलपैकी
कोणत्या संख्येला 3, 4, 5 आणि 6 ने निःशेष भाग जातो ?
(A) 36 (B) 60 (C) 80
(D) 90
उत्तर :
स्पष्टीकरण :
उदाहरणातील संकल्पना समजून घेऊन योग्य उत्तर शोधूया:
-
नि:शेष भाग जाणे म्हणजे काय?
नि:शेष भाग जाणे म्हणजे दिलेल्या संख्येला पूर्ण भाग गेला पाहिजे आणि भागाकार केल्यानंतर बाकी (Remainder) शून्य (0) आली पाहिजे. -
मुख्य उद्दिष्ट:
आपल्याला दिलेल्या पर्यायांपैकी (36, 60, 80, 90) अशी संख्या शोधायची आहे, जी 3, 4, 5 आणि 6 या चारीही संख्यांच्या पाढ्यात (Table) किंवा लसावि (LCM) मध्ये येईल.
पर्यायांची पडताळणी (Verification):
पर्याय (B) 60 या संख्येला आपण 3, 4, 5 आणि 6 ने भागून पाहूया:
| भागाकार (Division) | भागाकार उत्तर (Quotient) | बाकी (Remainder) |
|---|---|---|
| 60 ÷ 3 | 20 | 0 |
| 60 ÷ 4 | 15 | 0 |
| 60 ÷ 5 | 12 | 0 |
| 60 ÷ 6 | 10 | 0 |
वरील सर्व भागाकारात बाकी 0 उरते. म्हणजेच 60 या संख्येला 3, 4, 5 आणि 6 ने नि:शेष भाग जातो.
प्र. 7. पुढीलपैकी
कोणत्या संख्येला 18 ने भाग जातो ?
(A) 444444 (B)
555555 (C) 666660 (D) 666666
उत्तर :
स्पष्टीकरण :
दिलेल्या संख्येला 18 ने पूर्ण भाग जातो की नाही हे ओळखण्यासाठी आपण 18 ची कसोटी (Divisibility Rule of 18) वापरूया:
-
18 ची कसोटी:
ज्या संख्येला 2 आणि 9 या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो, त्या संख्येला 18 ने देखील पूर्ण भाग जातो. -
1) 2 ची कसोटी तपासून पाहू:
ज्या संख्येच्या शेवटी (एकक स्थानी) 0, 2, 4, 6, किंवा 8 हे अंक असतात, त्या संख्येला 2 ने पूर्ण भाग जातो.
• पर्याय (A) 444444 - शेवटी 4 आहे (भाग जातो)
• पर्याय (B) 555555 - शेवटी 5 आहे (भाग जात नाही)
• पर्याय (C) 666660 - शेवटी 0 आहे (भाग जातो)
• पर्याय (D) 666666 - शेवटी 6 आहे (भाग जातो) -
2) 9 ची कसोटी तपासून पाहू:
ज्या संख्येच्या सर्व अंकांच्या बेरजेला 9 ने पूर्ण भाग जातो, त्या संख्येला 9 ने भाग जातो.
आता उरलेल्या पर्यायांच्या अंकांची बेरीज करू:
• पर्याय A (444444): 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 (24 ला 9 ने भाग जात नाही)
• पर्याय C (666660): 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 0 = 30 (30 ला 9 ने भाग जात नाही)
• पर्याय D (666666): 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 36 (36 ला 9 ने पूर्ण भाग जातो, कारण 9 x 4 = 36)
अंतिम पडताळणी (Verification):
पर्याय (D) मधील 666666 या संख्येला 2 आणि 9 या दोन्ही संख्यांनी एकत्रितपणे भाग जातो. म्हणजेच या संख्येला 18 ने नि:शेष भाग जाईल:
(बाकी = 0)
Post a Comment