6 वी नवोदय : अंकगणित - पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 2.4

 

6 वी नवोदय : अंकगणित - पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 2.4

                  इयत्ता 6 वी नवोदय परीक्षेच्या अंकगणिताच्या प्रकरण 2, पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया, या प्रकरणातील स्वाध्याय 2.4 मधील सर्व उदाहरणे या पोस्ट मध्ये खूप सोप्या पद्धतीने सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात खालील टॉपिक वर आधारीत उदाहरणे देण्यात आलेली आहेत. 

1) दिलेल्या संख्या चढत्या क्रमाने म्हणजेच Ascending Order ने लावणे. संख्या चढत्या क्रमाने लावत असतांना सर्वात आधी लहान संख्या लिहावी, त्यानंतर त्यापेक्षा मोठी, नंतर त्याहीपेक्षा मोठी आणि सर्वात शेवटी सर्वात मोठी संख्या लिहावी. 

2) दिलेल्या 3 संख्यांनी एखाद्या संख्येला पूर्ण भाग जातो की नाही अशा प्रकारची उदाहरणे सुद्धा विचारली आहेत. अशा उदहरणांना सोडवण्यासाठी दिलेल्या भाजकांच्या कसोट्या वापरुन सोड़वावे लागते.  

3) काही उदाहरणांमध्ये पदावल्या दिलेल्या आहेत आणि त्यांना सोपे रूप द्यायला सांगितलं आहे. 

4) एका उदहरणांत पार्किंग च्या एकूण रांगांणची संख्या दिलेली आहे आणि प्रत्येक रांगेत उभे राहू शकतील अशा वाहनांची संख्या सुद्धा दिलेली आहे, त्यावरून गुणाकार करून पार्किंगमध्ये गाड्या उभ्या करण्यासाठी एकूण किती जागा उपलब्ध आहेत हे काढ़ायला विचारलं आहे. 

5) एका शाळेत 704 डेस्क आहेत जे 22 वर्गात एकसमान ठेवायचे आहेत तर क्रमवार प्रत्येक वर्गात किती डेस्क ठेवले जातील या टॉपिक वर आधारीत उदाहरणे सुद्धा देण्यात आलेली आहेत. 

6) अशी विविध प्रकारची 7 प्रश्न या स्वाध्याय 2.4 मध्ये विचारण्यात आलेली आहेत. 

7) या स्वाध्यायातील सर्व उदाहरणांचे सोप्या पद्धतीने स्पष्टीकरण या ठिकाणी देण्यात आलेले आहे.

प्र. 1. पुढील संख्या चढत्या भाजणीत (मांडणीत) लिहा :

         9230, 98023, 89320, 98032

(A) 98230, 98023, 89320, 98032

(B) 89320, 98230, 98032, 98023

(C) 89320, 98032, 98023, 98230

(D) 89320, 98023, 98032, 98230

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

दिलेल्या संख्या खालीलप्रमाणे आहेत:

98230, 98023, 89320, 98032

या संख्या आपल्याला चढत्या क्रमाने (Ascending Order) लावायच्या आहेत.

नियम: चढता क्रम म्हणजे संख्या लहान कडून मोठ्या संख्येकडे मांडणे. यामध्ये सर्वात लहान संख्या आधी येते, त्यानंतर त्यापेक्षा मोठी आणि सर्वात शेवटी सगळ्यात मोठी संख्या येते.

संख्यांची तुलना:

• दिलेल्या संख्यांमध्ये 89320 ही 5-अंकी संख्या 89 हजाराने सुरू होते, त्यामुळे ही सर्वात लहान संख्या आहे.
• बाकी उरलेल्या तिन्ही संख्या 98 हजाराने (98000) सुरू होतात. आता त्यांच्या पुढील अंकांची तुलना करू:
  • 98023 आणि 98032 मध्ये शतक स्थानी 0 आहे, तर 98230 मध्ये शतक स्थानी 2 आहे. म्हणजेच 98230 ही या तिन्हींमध्ये सर्वात मोठी आहे.
  • आता 98023 आणि 98032 ची तुलना केल्यास, दशक स्थानी अनुक्रमे 2 आणि 3 आहेत. म्हणून 98023 < 98032.

---

यानुसार दिलेल्या संख्यांचा योग्य चढता क्रम खालीलप्रमाणे असेल:

89320, 98023, 98032, 98230

त्यामुळे, योग्य उत्तर पर्याय (D) आहे.

 

प्र. 2. 8, 10 व 12 या तिन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जाणारी मोठ्यात मोठी तीन अंकी संख्या कोणती ?​

(A) 990    (B) 975    (C) 960    (D) 900

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

दिलेल्या संख्या 8, 10 आणि 12 आहेत. आपल्याला या तिन्ही संख्यांनी पूर्ण (निःशेष) भाग जाणारी मोठ्यात मोठी 3-अंकी संख्या शोधायची आहे. यासाठी आपण विभाज्यता कसोट्यांचा (Divisibility Rules) वापर करून पर्याय तपासू.

---

1 10 ची कसोटी:

ज्या संख्येच्या शेवटी 0 (शून्य) असतो, त्या संख्येला 10 ने पूर्ण भाग जातो.

• दिलेल्या पर्यायांपैकी पर्याय (B) मध्ये असलेली संख्या 975 आहे, जिच्या शेवटी 5 आहे. म्हणून या संख्येला 10 ने भाग जाणार नाही.
• यामुळे पर्याय (B) चुकीचा ठरतो. आता आपल्याकडे 990, 960 आणि 900 हे तीन पर्याय उरले.

2 12 ची कसोटी:

ज्या संख्येला 3 आणि 4 या दोन्ही संख्यांनी पूर्ण भाग जातो, त्या संख्येला 12 ने देखील पूर्ण भाग जातो.

3 ची कसोटी: अंकांच्या बेरजेला 3 ने भाग गेला पाहिजे.
उरलेल्या तिन्ही पर्यायांच्या अंकांची बेरीज (9+9+0 = 18, 9+6+0 = 15, 9+0+0 = 9) ही 3 च्या पाढ्यात येते. म्हणजेच तिन्ही संख्यांना 3 ने भाग जातो. त्यामुळे 3 च्या कसोटीने उत्तर मिळणार नाही.

4 ची कसोटी: संख्येच्या शेवटच्या दोन अंकांपासून तयार होणाऱ्या संख्येला 4 ने पूर्ण भाग गेला पाहिजे.

• 990: शेवटचे दोन अंक 90 आहेत. 90 ला 4 ने पूर्ण भाग जात नाही.
• 900: शेवटचे दोन अंक 00 आहेत. 00 ला 4 ने भाग जातो (00 ला कोणत्याही संख्येने भाग जातो).
• 960: शेवटचे दोन अंक 60 आहेत. 60 ला 4 ने पूर्ण भाग जातो (15 × 4 = 60).

यावरून 990 हा पर्याय बाद होतो. आता फक्त 960 आणि 900 हे दोन पर्याय उरतात.

3 8 ची कसोटी आणि अंतिम निवड:

आता उरलेल्या दोन संख्यांपैकी आपल्याला मोठ्यात मोठी संख्या पाहिजे, म्हणून आपण प्रथम मोठ्या संख्येला म्हणजेच 960 ला 8 ने भाग देऊन पाहू:

960 ÷ 8 = 120 (पूर्ण भाग जातो, बाकी 0 उरते)
960 ÷ 10 = 96 (पूर्ण भाग जातो, बाकी 0 उरते)
960 ÷ 12 = 80 (पूर्ण भाग जातो, बाकी 0 उरते)

संख्या 960 ला 8, 10 आणि 12 या तिन्ही संख्यांनी निःशेष भाग जातो आणि ही उरलेल्या पर्यायांमध्ये (960 आणि 900) सर्वात मोठी आहे.

---

अचूक उत्तर:

960 - पर्याय (C)

अजून वाचून पहा : 6 वी नवोदय : अंकगणित - पूर्ण संख्यांवरील चार मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 2.3

 प्र. 3. 89 X 15 + 11 X 15 – 500   सोडवल्यावर मिळणारे उत्तर आहे —​

(A) 1500    (B) 1400    (C) 1000    (D) 0

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

दिलेली पदावली (Expression) खालीलप्रमाणे आहे:

89 × 15 + 11 × 15 - 500

ही पदावली सोप्या पद्धतीने सोडवण्यासाठी आपण विभाजन गुणधर्म (Distributive Property) वापरणार आहोत. यामध्ये दोन्ही गुणाकारांमध्ये 15 ही संख्या सामाईक (Common) आहे.

पायऱ्या (Steps):

1. सामाईक संख्या कंसाबाहेर काढू:
   पहिल्या दोन पदांमधून (89 × 15 आणि 11 × 15) आपण 15 सामाईक बाहेर घेऊ:
   = 15 × (89 + 11) - 500
2. कंसातील बेरीज करू:
   कंसामध्ये 89 आणि 11 ची बेरीज करू (89 + 11 = 100):
   = 15 × 100 - 500
3. गुणाकार करू:
   आता 15 आणि 100 चा गुणाकार करू (15 × 100 = 1500):
   = 1500 - 500
4. वजाबाकी करू (अंतिम उत्तर):
   शेवटी 1500 मधून 500 वजा करू (1500 - 500 = 1000):
   = 1000

---

यानुसार अंतिम उत्तर खालीलप्रमाणे असेल:

1000 - पर्याय (C)

 

प्र. 4. (130429/13) या पदावलीला सोपे रूप दिल्यास मिळणारे उत्तर आहे —​

(A) 10033    (B) 1033    (C) 13003    (D) 10303

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

दिलेली पदावली सोडवण्यासाठी आपल्याला 130429 या संख्येला 13 ने भागायचे आहे.

130429 ÷ 13

भागाकाराच्या पायऱ्या (Step-by-Step Division):

• पायरी 1: पहिल्या दोन अंकांचा विचार करू (13).
  13 × 1 = 13. त्यामुळे भागाकारात पहिला अंक 1 येईल.
  (13 - 13 = 0, बाकी 0 उरली)
• पायरी 2: आता पुढील अंक 0 खाली घेऊ.
  0 ही संख्या 13 पेक्षा लहान आहे, म्हणून 13 चा भाग 0 चा बसेल (13 × 0 = 0).
  त्यामुळे भागाकारात पुढील अंक 0 येईल.
• पायरी 3: आता पुढील अंक 4 खाली घेऊ.
  तयार झालेली संख्या 4 ही देखील 13 पेक्षा लहान आहे, म्हणून पुन्हा 0 चा भाग बसेल (13 × 0 = 0).
  त्यामुळे भागाकारात आणखी एक 0 येईल.
• पायरी 4: आता पुढील अंक 2 खाली घेऊ.
  आता संख्या 42 तयार झाली. 13 चा पाढा 42 च्या जवळ जाईपर्यंत म्हणू (13 × 3 = 39).
  त्यामुळे भागाकारात पुढील अंक 3 येईल.
  (42 - 39 = 3, बाकी 3 उरली)
• पायरी 5: शेवटी उरलेला अंक 9 खाली घेऊ.
  आता संख्या 39 तयार झाली. पुन्हा 13 चा पाढा म्हणू (13 × 3 = 39).
  त्यामुळे भागाकारात अंतिम अंक 3 येईल.
  (39 - 39 = 0, बाकी 0 उरली)

---

सर्व अंक एकत्र जोडल्यास आपल्याला मिळणारा भागाकार (Quotient) खालीलप्रमाणे आहे:

10033

त्यामुळे, योग्य उत्तर पर्याय (A) आहे.

 

प्र. 5. मोटारींच्या एका पार्किंगमध्ये 14 रांगा आहेत. प्रत्येक रांगेत गाड्या उभ्या करण्यासाठी 420 जागा आहेत. तर पार्किंगमध्ये गाड्या उभ्या करण्यासाठी एकूण किती जागा आहेत ?

​(A) 434    (B) 5880    (C) 406    (D) 30

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

उदाहरणात दिलेल्या माहितीनुसार प्रथम आपण महत्त्वाच्या गोष्टी लिहून घेऊ:

• पार्किंगमधील एकूण रांगांची संख्या = 14
• प्रत्येक रांगेत गाड्या उभ्या करण्यासाठी उपलब्ध जागा = 420

आपल्याला पार्किंगमधील गाड्या उभ्या करण्याची एकूण जागा शोधायची आहे. जेव्हा एका रांगेची माहिती दिली असते आणि त्यावरून जास्त रांगांची एकूण संख्या काढायची असते, तेव्हा आपण गुणाकार (Multiplication) करतो.

सूत्र: एकूण जागा = प्रत्येक रांगेतील जागा × एकूण रांगा

गुणाकाराच्या पायऱ्या (Step-by-Step Multiplication):

= 420 × 14

• पायरी 1: 14 ने एकक स्थानच्या 0 ला गुणू:
  14 × 0 = 0
• पायरी 2: 14 ने दशक स्थानच्या 2 ला गुणू:
  14 × 2 = 28. यातील 8 खाली लिहू आणि हातचा (Carry) 2 शतक स्थानी देऊ.
• पायरी 3: 14 ने शतक स्थानच्या 4 ला गुणू आणि त्यात हातचा 2 मिळवू:
  14 × 4 = 56
  56 + 2 (हातचा) = 58

पूर्ण गुणाकार केल्यानंतर आपल्याला मिळणारे उत्तर:

420 × 14 = 5880

---

यावरून पार्किंगमध्ये गाड्या उभ्या करण्यासाठी एकूण 5880 जागा आहेत.

5880 - पर्याय (B)

 

प्र. 6. एका शाळेत 704 डेस्क 22 वर्गात ठेवायचे आहेत. जर प्रत्येक वर्गात ठेवण्याच्या डेस्कची संख्या सारखीच असेल, तर क्रमवार प्रत्येक वर्गात किती डेस्क ठेवले जातील ?

(A) 32    (B) 34    (C) 42    (D) 44

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

उदाहरणात दिलेली माहिती खालीलप्रमाणे आहे:

• शाळेतील एकूण डेस्क (Desk) संख्या = 704
• एकूण वर्गांची संख्या = 22

आपल्याला हे डेस्क सर्व वर्गांमध्ये सारख्याच संख्येने (समान) विभागायचे आहेत. जेव्हा एखादी एकूण संख्या वेगवेगळ्या भागांमध्ये समान प्रमाणात वाटायची असते, तेव्हा आपण भागाकार (Division) करतो.

सूत्र: प्रत्येक वर्गातील डेस्क संख्या = एकूण डेस्क ÷ एकूण वर्ग

= 704 ÷ 22

भागाकाराच्या पायऱ्या (Step-by-Step Division):

• पायरी 1: पहिल्या दोन अंकांचा विचार करू (70). 22 चा पाढा 70 च्या जवळ जाईपर्यंत म्हणू:
  22 × 3 = 66
  त्यामुळे भागाकारात पहिला अंक 3 येईल.
  (70 - 66 = 4, बाकी 4 उरली)
• पायरी 2: आता उरलेल्या बाकी 4 च्या पुढे पुढील अंक 4 खाली घेऊ.
  यामुळे नवीन संख्या 44 तयार होईल. आता पुन्हा 22 चा पाढा म्हणू:
  22 × 2 = 44
  त्यामुळे भागाकारात पुढील अंक 2 येईल.
  (44 - 44 = 0, बाकी 0 उरली)

पूर्ण भागाकार केल्यानंतर आपल्याला मिळणारे उत्तर (Quotient):

704 ÷ 22 = 32

---

यावरून प्रत्येक वर्गात ठेवायच्या डेस्कची संख्या 32 असेल.

32 - पर्याय (A)

प्र. 7. एका संख्येमधून तिच्या अंकांची बेरीज वजा केली. त्यातून मिळणाऱ्या संख्येला नेहमी भाग जाऊ शकतो.​

(A) 2 ने    (B) 5 ने    (C) 8 ने    (D) 9 ने

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

महत्त्वाचा नियम: कोणत्याही संख्येमधून तिच्या अंकांची बेरीज वजा केली असता, येणाऱ्या नवीन संख्येला नेहमी 9 ने पूर्ण (निःशेष) भाग जातो.

हा नियम समजून घेण्यासाठी आपण एक उदाहरण (तालिका) पाहू:

उदाहरण स्पष्टीकरण:

• पायरी 1: एक संख्या गृहीत धरू:
  आपण एक 3-अंकी संख्या घेऊ: 512
• पायरी 2: अंकांची बेरीज करू:
  512 या संख्येतील अंकांची बेरीज:
  5 + 1 + 2 = 8
• पायरी 3: मूळ संख्येतून बेरीज वजा करू:
  मूळ संख्येतून (512) ही बेरीज (8) वजा करू:
  512 - 8 = 504
• पायरी 4: 9 ने भाग देऊन पडताळणी करू:
  आता मिळालेल्या 504 या संख्येला 9 ने भाग देऊ:
  
  504 ÷ 9 = 56 (बाकी 0 उरते)

तुम्ही या नियमाची पडताळणी इतर कोणत्याही संख्येसोबत (उदा. 2-अंकी किंवा 4-अंकी) करून पाहू शकता, उत्तर नेहमी 9 ने विभाज्यच येईल.

---

त्यामुळे, मिळणाऱ्या संख्येला नेहमी 9 ने भाग जाऊ शकतो.

9 ने - पर्याय (D)

 

Video Explanation :