6 वी नवोदय : अंकगणित - अवयव व गुणक आणि त्यांचे गुणधर्म - स्वाध्याय 3.2

 

6 वी नवोदय : अंकगणित - अवयव व गुणक आणि त्यांचे गुणधर्म - स्वाध्याय 3.2 

                  इयत्ता 6 वी नवोदय विद्यालय प्रवेश परीक्षेच्या अंकगणित प्रकरण 3, अवयव व गुणक आणि त्यांचे गुणधर्म - स्वाध्याय 3.2, यातील सर्व उदाहरणे या पोस्ट मध्ये सोप्या पद्धतीने सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात खालील विविध पद्धतींवर आधारीत उदाहरणे देण्यात आलेली आहेत. 

1) या स्वाध्यायामध्ये एखाद्या संख्येचे मूळ अवयव म्हणजेच prime factorization काढ़ायला सांगितले आहे. 

2) तसेच काही उदहरणांमध्ये दिलेल्या संख्येचे साधारण अवयव सुद्धा काढ़ायला सांगितले आहे. 

3) दिलेल्या संख्येचा सर्वात लहान किंवा सर्वात मोठा विभाजक काढण्याबद्दलचे प्रश्न सुद्धा या स्वाध्यायात विचारण्यात आलेले आहे. 

4) तसेच काही उदहरणांमध्ये दिलेल्या संख्येच्या काही गुणितांची बेरीज करणे या प्रकारची प्रश्न सुद्धा विचारलेली आहेत. 

5) एखाद्या संख्येचे साधारण अवयव काढ़ने म्हणजे ती संख्या कोणकोणत्या टेबल मध्ये येते ते शोधणे असते. 

6) एखाद्या संख्येचे मूळ अवयव काढ़ने म्हणजे त्या संख्येला फक्त मूळ अंकांनी भागणे असे असते. 

7) अशी विविध प्रकारची 11 प्रश्न या स्वाध्याय 3.2 मध्ये विचारण्यात आलेली आहेत. 

8) या स्वाध्यायातील सर्व उदाहरणांचे सोप्यात सोप्या पद्धतीने स्पष्टीकरण या ठिकाणी देण्यात आलेले आहे.

प्र. 1. एक संख्या 50 हून लहान आहे; 7 च्या पटीत आहे; बरोबर 3 अवयवांची आहे. ती संख्या कोणती ?

(A) 14     (B) 42     (C) 49     (D) 35

उत्तर :

अचूक उत्तर: पर्याय (C) 49

स्पष्टीकरण :

दिलेल्या प्रश्नातील अटींनुसार, ती संख्या 50 पेक्षा लहान (Less than 50) असावी, 7 च्या पटीत (Multiple of 7) असावी आणि तिला बरोबर 3 अवयव (Exactly 3 Factors) असावेत.

पर्यायांमध्ये दिलेल्या सर्व संख्या (14, 42, 49, 35) ह्या 50 पेक्षा लहान आहेत आणि 7 च्या पटीत आहेत. त्यामुळे अचूक उत्तर शोधण्यासाठी आपल्याला प्रत्येक संख्येचे अवयव (Factors) तपासावे लागतील:

संख्या (Number)	अवयव (Factors)	अवयवांची एकूण संख्या
14	1, 2, 7, 14	4
42	1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42	8
49	1, 7, 49	3
35	1, 5, 7, 35	4

वरील तक्त्यावरून स्पष्ट होते की, फक्त 49 या संख्येला बरोबर 3 अवयव (1, 7, 49) आहेत. म्हणून, दिलेल्या सर्व अटी पूर्ण करणारी संख्या 49 हीच आहे.

टॅग्ज: स्कॉलरशिप परीक्षा गणित | संख्या आणि अवयव | Maths Shortcuts in Marathi | Factors and Multiples

प्र. 2. 37 या संख्येचा सर्वांत लहान विभाजक कोणता ?

(A) 1     (B) 3     (C) 7     (D) 37

 उत्तर :

अचूक उत्तर: पर्याय (A) 1

स्पष्टीकरण :

दिलेल्या प्रश्नात ३७ (37) या संख्येचा सर्वात लहान विभाजक विचारला आहे. गणितीय नियमांनुसार खालील मुख्य मुद्दा लक्षात घेणे आवश्यक आहे:

"कोणत्याही संख्येचा सर्वात लहान विभाजक (Smallest Factor) हा नेहमी १ (1) हा अंक असतो."

37 ही एक मूळ संख्या (Prime Number) आहे. त्यामुळे तिचे फक्त दोनच विभाजक पडतात:

• सर्वात लहान विभाजक = 1
• सर्वात मोठा विभाजक = 37 (ती संख्या स्वतः)

म्हणून, ३७ या संख्येचा सर्वात लहान विभाजक १ आहे. यामुळे योग्य पर्याय (A) हा ठरतो.

टॅग्ज: मूळ संख्या आणि विभाजक | गणित स्पष्टीकरण | Smallest Factor of a Number | Scholarship Exam Maths Marathi

प्र. 3. जर तीन क्रमिक संख्यांची बेरीज 15 आहे, तर मधल्या संख्येचा वर्ग असेल :

(A) 16     (B) 25     (C) 36     (D) 49

 उत्तर :

अचूक उत्तर: पर्याय (B) 25

स्पष्टीकरण :

समजा, तीन क्रमिक संख्या (Three Consecutive Numbers) अनुक्रमे x, x + 1 आणि x + 2 आहेत असे आपण मानू.

दिलेल्या पहिल्या अटीनुसार, या तिन्ही क्रमिक संख्यांची बेरीज 15 आहे:

x + (x + 1) + (x + 2) = 15
3x + 3 = 15
3x = 15 - 3
3x = 12
x = 12/3
x = 4

आता आपल्याला मधली संख्या (Middle Number) काढायची आहे:

• मधली संख्या = x + 1
• मधली संख्या = 4 + 1 = 5

प्रश्नात विचारल्यानुसार, मधल्या संख्येचा वर्ग (Square of the Middle Number) काढू:

मधल्या संख्येचा वर्ग = 5^2 = 5 x 5 = 25

यावरून स्पष्ट होते की, मधल्या संख्येचा वर्ग 25 येतो. म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय (B) आहे.

टॅग्ज: क्रमिक संख्यांची बेरीज | वर्ग आणि वर्गमूळ | Scholarship Exam Maths Tricks | Consecutive Numbers Problems

प्र. 4. 1632 ही संख्या दोन संख्यांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात लिहा. मात्र या दोन्ही संख्यांपैकी एका संख्येचे आणखी अवयव पडू नयेत.

(A) 68 X 24           (B) 34 X 48        (C) 17 X 96        (D) 32 X 51

 उत्तर :

अचूक उत्तर: पर्याय (C) 17 X 96

स्पष्टीकरण :

दिलेल्या प्रश्नातील अटीनुसार, आपल्याला १६३२ (1632) ही संख्या दोन संख्यांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात लिहायची आहे, ज्यामध्ये एका संख्येचे आणखी अवयव पडू नयेत (One number must be a Prime Number).

यासाठी आपल्याला १६३२ चे मूळ अवयव (Prime Factors) काढावे लागतील. भागाकार पद्धतीने मूळ अवयव खालीलप्रमाणे मिळतात:

1632 ÷ 2 = 816
816 ÷ 2 = 408
408 ÷ 2 = 204
204 ÷ 2 = 102
102 ÷ 2 = 51
51 ÷ 3 = 17
17 ÷ 17 = 1

यावरून 1632 चे मूळ अवयव खालीलप्रमाणे लिहिता येतात:

1632 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 17

आता पहिल्या ६ संख्यांचा गुणाकार केल्यास:
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 96

त्यामुळे गुणाकार स्वरूप पुढीलप्रमाणे बनते:
96 x 17 किंवा 17 x 96

येथे १७ (17) ही मूळ संख्या असल्यामुळे तिचे आणखी अवयव पडणार नाहीत. ही अट फक्त पर्याय (C) मध्ये पूर्ण होते.

टॅग्ज: मूळ अवयव पद्धती | Prime Factors of 1632 | गणित स्पर्धा परीक्षा मार्गदर्शन | Maths Solutions in Marathi

अजून वाचून पहा : 6 वी नवोदय : अंकगणित - संख्या आणि संख्या पद्धती - स्वाध्याय 1.3

प्र. 5. 110 या संख्येच्या एकूण विभाजकांची संख्या ही त्या संख्येच्या मूळ अवयवांच्या एकूण संख्येपेक्षा कितीने जास्त आहे ?

(A) 1     (B) 3     (C) 5     (D) 7

उत्तर : 

अचूक उत्तर: पर्याय (C) 5

स्पष्टीकरण :

या प्रश्नाचे अचूक उत्तर काढण्यासाठी आपल्याला ११० (110) या संख्येचे एकूण विभाजक आणि एकूण मूळ अवयव शोधून त्यांच्यातील फरक काढावा लागेल.

पायरी 1 : 110 चे एकूण विभाजक (Total Factors of 110)

110 ज्या संख्यांच्या पाढ्यात येते (किंवा ज्या संख्यांनी 110 ला पूर्ण भाग जातो) ते सर्व विभाजक खालीलप्रमाणे आहेत:

110 चे विभाजक = 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110

∴ 110 च्या एकूण विभाजकांची संख्या = 8

पायरी 2 : 110 चे मूळ अवयव (Prime Factors of 110)

भागाकार पद्धतीने 110 चे मूळ अवयव काढल्यास:

110 ÷ 2 = 55
55 ÷ 5 = 11
11 ÷ 11 = 1

गुणाकार रूपात: 110 = 2 x 5 x 11

∴ 110 च्या मूळ अवयवांची एकूण संख्या = 3

पायरी 3 : फरक काढणे (Finding the Difference)

प्रश्नानुसार, एकूण विभाजकांची संख्या ही मूळ अवयवांपेक्षा कितीने जास्त आहे ते काढू:

फरक = एकूण विभाजक - एकूण मूळ अवयव = 8 - 3 = 5

यावरून स्पष्ट होते की, 110 चे एकूण विभाजक हे त्याच्या मूळ अवयवांच्या एकूण संख्येपेक्षा 5 ने जास्त आहेत. म्हणून, अचूक उत्तर पर्याय (C) आहे.

टॅग्ज: विभाजक आणि अवयव | स्कॉलरशिप गणित | Total Factors vs Prime Factors | Educational Marathi Post

प्र. 6. 60 चे विभाजक आहेत –

(A)    2, 3, 5, 6, 10, 12, 20, 30      (B) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

(C) 2, 2, 3, 5                                 (D) 2, 3, 10

 उत्तर :

अचूक उत्तर: पर्याय (B) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

स्पष्टीकरण :

दिलेल्या प्रश्नात ६० (60) चे सर्व विभाजक (Factors) शोधायचे आहेत.

विभाजक म्हणजे काय?
संख्या 60 कोणत्या सर्व संख्यांच्या पाढ्यामध्ये (Table) येते, किंवा ज्या संख्यांनी 60 ला नि:शेष भाग जातो, त्या सर्व संख्या शोधणे म्हणजे विभाजक शोधणे होय.

60 या संख्येचे सर्व संभाव्य विभाजक पुढील जोड्यांच्या गुणाकारातून स्पष्ट होतात:

गुणाकार जोडी (Pairs)	मिळणारे विभाजक
1 x 60 = 60	1, 60
2 x 30 = 60	2, 30
3 x 20 = 60	3, 20
4 x 15 = 60	4, 15
5 x 12 = 60	5, 12
6 x 10 = 60	6, 10

त्यामुळे 60 चे सर्व विभाजक चढत्या क्रमाने मांडल्यास खालीलप्रमाणे मिळतात:

60 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

इतर पर्यायांचा विचार केला असता, पर्याय (A) मध्ये 1 आणि 15 सुटलेले आहेत, तर पर्याय (C) आणि (D) मध्ये फक्त काही मोजकेच अवयव दिलेले आहेत. संपूर्ण आणि अचूक यादी फक्त पर्याय (B) मध्ये उपलब्ध आहे.

टॅग्ज: ६० चे विभाजक | Factors of 60 | स्कॉलरशिप परीक्षा गणित तयारी | Maths Guide in Marathi

प्र. 7. 60 चे मूळ अवयव आहेत –

(A) 1 X 2 X 3 X 10      (B) 2 X 5 X 6       (C) 2 X 2 X 3 X 5     (D) 4 X 5 X 3

 उत्तर :

अचूक उत्तर: पर्याय (C) 2 X 2 X 3 X 5

स्पष्टीकरण :

दिलेल्या प्रश्नात ६० (60) चे मूळ अवयव (Prime Factors) विचारले आहेत.

मूळ अवयव म्हणजे काय?
दिलेल्या संख्येची अशी फोड करणे ज्यामध्ये गुणाकार स्वरूपातील प्रत्येक संख्या ही केवळ एक मूळ संख्या (Prime Number) असावी.

भागाकार पद्धतीने 60 चे मूळ अवयव खालील सोप्या पायऱ्यांमध्ये काढता येतात:

2 | 60
-------
2 | 30
-------
3 | 15
-------
5 | 5
-------
| 1

यावरून 60 चे मूळ अवयव गुणाकार स्वरूपात पुढीलप्रमाणे मिळतात:

60 = 2 × 2 × 3 x 5

इतर पर्याय चुकीचे का आहेत? (Option Analysis):

• पर्याय (A) 1 X 2 X 3 X 10: यामध्ये 10 ही मूळ संख्या नाही (तिचे 2 आणि 5 असे अवयव पडतात).
• पर्याय (B) 2 X 5 X 6: यामध्ये 6 ही मूळ संख्या नाही (तिचे 2 आणि 3 असे अवयव पडतात).
• पर्याय (D) 4 X 5 X 3: यामध्ये 4 ही मूळ संख्या नाही (तिचे 2 X 2 असे अवयव पडतात).

त्यामुळे, फक्त पर्याय (C) मधील सर्व संख्या मूळ संख्या आहेत आणि त्यांचा गुणाकार 60 येतो.

टॅग्ज: ६० चे मूळ अवयव | Prime Factors of 60 | ५ वी ८ वी स्कॉलरशिप गणित | MPSC Maths Marathi

प्र. 8. दोन प्रौढ माणसांची वये दर्शवणाऱ्या संख्यांचा गुणाकार 770 आहे; त्यांच्या वयांची बेरीज किती वर्षे आहे ?

(A) 87     (B) 81     (C) 57     (D) 75

 उत्तर :

अचूक उत्तर: पर्याय (C) 57

स्पष्टीकरण :

या गणितामध्ये आपल्याला दोन प्रौढ माणसांची (Adults) वये शोधायची आहेत. गणिताच्या नियमांनुसार आणि व्यावहारिकदृष्ट्या, प्रौढ व्यक्तीचे वय हे 18 वर्षांपेक्षा जास्त असावे लागते.

दिलेल्या अटीनुसार, दोघांच्या वयांचा गुणाकार ७७० (770) आहे. म्हणूनच, अचूक वये शोधण्यासाठी आपल्याला सर्वप्रथम 770 चे मूळ अवयव (Prime Factors) काढावे लागतील:

2 | 770
-------
5 | 385
-------
7 | 77
-------
11| 11
-------
| 1

यावरून 770 ची मूळ अवयव फोड खालीलप्रमाणे मिळते:
770 = 2 x 5 x 7 x 11

योग्य जोड्या पाडणे:

आता या मूळ अवयवांपासून अशा दोन संख्या तयार करायच्या आहेत ज्या दोन्ही 18 पेक्षा मोठ्या (प्रौढ व्यक्तींसाठी) असतील:

• पहिली संख्या: 2 x 11 = 22 वर्षे
• दुसरी संख्या: 5 x 7 = 35 वर्षे

(येथे 22 आणि 35 या दोन्ही संख्या 18 पेक्षा मोठ्या आहेत, त्यामुळे ही त्या दोन प्रौढ माणसांची वये असू शकतात.)

दोघांच्या वयांची बेरीज = 22 + 35 = 57 वर्षे

यावरून स्पष्ट होते की, त्या दोन प्रौढ व्यक्तींच्या वयांची बेरीज 57 वर्षे येईल, जी पर्याय (C) मध्ये दिलेली आहे.

टॅग्ज: वयावर आधारित गणिते | मूळ अवयव पद्धती | Age Related Word Problems | Maths Guide in Marathi

प्र. 9. 32 चे मूळ अवयव काढण्याची प्रक्रिया आहे –

(A) 2 X 2 X 2 X 2 X 2    (B) 3 X 3 X 2 X 2    (C) 2 X 2 X 8    (D) 2 X 2 X 2 X 4

 उत्तर :

अचूक उत्तर: पर्याय (A) 2 X 2 X 2 X 2 X 2

स्पष्टीकरण :

दिलेल्या प्रश्नात ३२ (32) चे मूळ अवयव (Prime Factors) काढण्याची अचूक प्रक्रिया विचारली आहे.

महत्त्वाचा नियम: मूळ अवयव पद्धतीने संख्येची फोड करताना गुणाकार स्वरूपातील प्रत्येक संख्या ही केवळ मूळ संख्या (Prime Number) असायला हवी.

भागाकार पद्धतीने 32 चे मूळ अवयव खालीलप्रमाणे मिळतात:

2 | 32
-------
2 | 16
-------
2 | 8
-------
2 | 4
-------
2 | 2
-------
| 1

यावरून 32 चे मूळ अवयव गुणाकार स्वरूपात मांडल्यास:

32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2

इतर पर्याय चुकीचे का आहेत? (Option Analysis):

• पर्याय (B) 3 X 3 X 2 X 2 : यांचा गुणाकार 36 येतो, 32 नाही.
• पर्याय (C) 2 X 2 X 8 : यामध्ये 8 ही संयुक्त संख्या (Composite Number) आहे, मूळ संख्या नाही.
• पर्याय (D) 2 X 2 X 2 X 4 : यामध्ये 4 ही संयुक्त संख्या आहे, मूळ संख्या नाही.

त्यामुळे, गुणाकार 32 येणारी आणि सर्व संख्या मूळ असणारी एकमेव प्रक्रिया फक्त पर्याय (A) मध्ये दिली आहे.

टॅग्ज: ३२ चे मूळ अवयव | Prime Factorization of 32 | स्कॉलरशिप गणित तयारी | Marathi Maths Guide

प्र. 10. 8 च्या पहिल्या चार गुणितांची बेरीज आहे......

(A) 60     (B) 70     (C) 80     (D) 100

 उत्तर :

अचूक उत्तर: पर्याय (C) 80

स्पष्टीकरण :

दिलेल्या प्रश्नात आपल्याला 8 च्या पहिल्या चार गुणितांची बेरीज (Sum of the first four multiples of 8) काढायची आहे.

गुणिते (Multiples) म्हणजे काय?
कोणत्याही संख्येची गुणिते म्हणजे त्या संख्येच्या पाढ्यामधील (Table) येणाऱ्या संख्या होय.

त्यानुसार, 8 च्या पाढ्यातील पहिल्या चार संख्या (8 ची पहिली चार गुणिते) खालीलप्रमाणे आहेत:

• पहिले गुणित: 8 x 1 = 8
• दुसरे गुणित: 8 x 2 = 16
• तिसरे गुणित: 8 x 3 = 24
• चौथे गुणित: 8 x 4 = 32

आता प्रश्नात दिलेल्या अटीनुसार या चारही संख्यांची बेरीज करू:

बेरीज = 8 + 16 + 24 + 32 = 80

या सोप्या प्रक्रियेवरून स्पष्ट होते की, 8 च्या पहिल्या चार गुणितांची एकूण बेरीज 80 येते. त्यामुळे योग्य उत्तर पर्याय (C) आहे.

टॅग्ज: संख्यांची गुणिते आणि बेरीज | First Four Multiples of 8 | स्कॉलरशिप गणित ऑनलाईन टेस्ट | Primary Maths in Marathi

प्र. 11. 3 आणि 5 यांची गुणिते असलेल्या पहिल्या 100 नैसर्गिक संख्यांची संख्या किती ?

(A) 10     (B) 9     (C) 7     (D) 6

उत्तर :

अचूक उत्तर: पर्याय (D) 6

स्पष्टीकरण :

दिलेल्या प्रश्नात आपल्याला पहिल्या 100 नैसर्गिक संख्यांपैकी (First 100 Natural Numbers) अशा संख्या शोधायच्या आहेत ज्या 3 आणि 5 या दोन्ही संख्यांची गुणिते (Multiples of both 3 and 5) असतील.

महत्त्वाची ट्रिक (Shortcut Trick):
जेव्हा दोन वेगवेगळ्या संख्यांची सामायिक गुणिते (Common Multiples) शोधायची असतात, तेव्हा त्या संख्यांच्या लसावि (LCM) च्या पाढ्यातील संख्या शोधाव्या लागतात.

3 आणि 5 या दोन्ही मूळ संख्या असल्याने त्यांचा लसावि पुढीलप्रमाणे येतो:
3 x 5 = 15

म्हणजेच, 3 आणि 5 ची गुणिते शोधणे म्हणजेच 15 च्या पाढ्यातील (Table of 15) अशा संख्या शोधणे ज्या 100 पेक्षा लहान किंवा 100 पर्यंत आहेत:

• 15 × 1 = 15  ✓
• 15 × 2 = 30  ✓
• 15 × 3 = 45  ✓
• 15 × 4 = 60  ✓
• 15 × 5 = 75  ✓
• 15 × 6 = 90  ✓
• 15 × 7 = 105  × (ही संख्या 100 पेक्षा मोठी आहे)

100 पेक्षा लहान असलेल्या संख्या: 15, 30, 45, 60, 75, 90
∴ एकूण संख्या = 6

यावरून स्पष्ट होते की, पहिल्या 100 नैसर्गिक संख्यांमध्ये 3 आणि 5 ची गुणिते असणाऱ्या एकूण 6 संख्या आहेत. त्यामुळे योग्य उत्तर पर्याय (D) ठरते.

टॅग्ज: लसावि आणि मसावि गणिते | संख्यांची सामायिक गुणिते | Multiples of 3 and 5 up to 100 | Navodaya Vidyalaya Maths Marathi

Video Explanation :