6 वी नवोदय : अंकगणित - अपूर्णांक - स्वाध्याय 8.2

                                 इयत्ता 6 वी नवोदय विद्यालय प्रवेश परीक्षेच्या अंकगणित प्रकरण 8, अपूर्णांक - स्वाध्याय 8.2, यातील सर्व उदाहरणे या पोस्ट मध्ये सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात खालील विविध पद्धतींवर आधारीत उदाहरणे देण्यात आलेली आहेत. 

1) स्वाध्याय 8.2 मधील पहिलं गणित दिलेलं आहे, ज्यामध्ये दोन पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकांचा गुणाकार करायला सांगितलेला आहे.

2) पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकांचं साध्या अपूर्णांकात रूपांतर करत असताना छेदाने पूर्णांक संख्येला गुणावे आणि आलेल्या उत्तरामध्ये अपूर्णांकाचा अंश मिळवावा आणि आलेल्या उत्तराला जो original छेद होता तो जसाच्या तसा लिहावा.

3) या स्वाध्यायातील दुसरा प्रश्न, त्यामध्ये पहिल्या bracket मध्ये अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी दिलेली आहे, तर दुसऱ्या कंसामध्ये, दुसऱ्या bracket मध्ये अपूर्णांकांची वजाबाकी दिलेली आहे. पहिल्या कंसातील अपूर्णांकांचा छेद समान आहे, तर दुसऱ्या कंसातील अपूर्णांकांचा छेद वेगवेगळा आहे.

4) हे उदाहरण सोडवण्याआधी दुसऱ्या कंसातील अपूर्णांकांचा छेद समान करायला लागेल. नंतर त्यांची वजाबाकी करून जे उत्तर मिळेल त्या उत्तराला पहिल्या कंसाच्या उत्तराशी multiply करून आपल्याला पाहिजे असलेलं उत्तर मिळेल.

5) तिसऱ्या प्रश्नामध्ये एक शाब्दिक प्रश्न विचारलेला आहे, ज्यामध्ये सांगितलेलं आहे की एका अपूर्णांकात एक समान नैसर्गिक संख्या त्याच्या अंशामध्ये आणि छेदामध्ये मिळवली तर नवीन अपूर्णांकांचं उत्तर कसं असेल ?

6) यावेळी दोन उदाहरणं घेऊन आपल्याला समजून सांगायचं आहे की अपूर्णांकामध्ये जर का आपण एकच संख्या अंशात आणि छेदात मिळवली, तर मिळणारं उत्तर हे original अपूर्णांकांपेक्षा मोठं आहे आणि दुसऱ्या उदाहरणामध्ये आपल्याला अपूर्णांक घेऊन त्यामध्ये अंशात आणि छेदात समान संख्या मिळवायची आहे आणि येणारं उत्तर हे original अपूर्णांकांपेक्षा लहान आहे असं दाखवायचं आहे.

7) हे करत असताना जे छेदाधिक अपूर्णांक असतात म्हणजेच proper fraction असतात, त्यांच्यामध्ये अंशात आणि छेदात समान संख्या मिळवल्यास मिळणाऱ्या अपूर्णांकाचं उत्तर दिलेल्या अपूर्णांकापेक्षा मोठं असते, तर अंशाधिक अपूर्णांक घेतल्यास म्हणजेच improper fraction घेतल्यास त्यांच्या अंशात आणि छेदात समान संख्या मिळवल्यास त्याचं उत्तर दिलेल्या original अपूर्णांकापेक्षा लहान असते.

8) चौथ्या प्रश्नामध्ये, पहिल्या कंसामध्ये दोन पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकांची बेरीज दिलेली आहे, तर दुसऱ्या कंसामध्ये त्याच दोन पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकांची वजाबाकी दिलेली आहे आणि त्यांचा गुणाकार करून आपल्याला उत्तर काढायला सांगितलेलं आहे.

9) पाचव्या प्रश्नामध्ये, पहिल्या कंसात दोन अपूर्णांकांची बेरीज तर दुसऱ्या कंसात दोन सारख्या अपूर्णांकांची बेरीज दिलेली आहे. दोन्ही कंसांना सोडवल्यानंतर मिळणाऱ्या उत्तराचा गुणाकार करून आपल्याला पाहिजे असलेलं उत्तर काढायचं आहे.

10) सहाव्या प्रश्नामध्ये एक पदावली दिलेली आहे, ज्यामध्ये एका कंसामध्ये अपूर्णांकांचा गुणाकार करायचा आहे आणि कंस सोडवून झाल्यानंतर त्या गुणाकाराला 1 मध्ये add करायचं आहे आणि ते solve केल्यानंतर काय किंमत येईल हे काढायला सांगितलेलं आहे.

11) या स्वाध्यायातील सातव्या आणि शेवटच्या प्रश्नामध्ये दोन संख्यांची बेरीज अपूर्णांकांमध्ये दिलेली आहे. त्यातील एक संख्या अपूर्णांकाच्या स्वरूपात दिलेली आहे तर दुसरी संख्या अपूर्णांकाच्या स्वरूपात काय असेल ते काढायला सांगितलेलं आहे.

12) अशा पद्धतीने या प्रकरणाच्या स्वाध्याय 8.2 मध्ये सात वेगवेगळ्या प्रकारची उदाहरणं दिलेली आहेत.

प्र. 1.  1 2/7 × 1 3/7 हा गुणाकार पुढीलपैकी कोणत्या पदावलीइतका आहे ?

(A) (1×2×1) / 77                     (B) ((7+2) × (7+3)) / (7×7)

(C) ((1+2) × 1) / (7×7)               (D) (1+2+1 ) / 77

उत्तर :

पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकाचे साध्या अपूर्णांकात रूपांतर करून स्पष्टीकरण खालीलप्रमाणे:

पायरी 1 (पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकाचे रूप बदलणे):

1 ²/₇ × 1 ³/₇

= [(7 × 1 + 2) / 7] × [(7 × 1 + 3) / 7]

पायरी 2 (अंश व छेद यांची मांडणी):

= [(7 + 2) / 7] × [(7 + 3) / 7]

पायरी 3 (गुणाकार स्वरूपात लिहिणे):

= ((7 + 2) × (7 + 3)) / (7 × 7)

∴ दिलेला गुणाकार ((7+2) × (7+3)) / (7×7) या पदावलीइतका आहे.

योग्य पर्याय: (B) ((7+2) × (7+3)) / (7×7)

प्र. 2.   (3/5 + 1/5 - 2/5) × (36/45 - 2/5) चे सरळरूप आहे :

(A) 16/25    (B) 4/25    (C) 8/25    (D) 1/25

उत्तर :

दिलेली पदावली:

(3/5 + 1/5 - 2/5) × (36/45 - 2/5)

पायरी 1 (पहिला कंस सोडवणे):

छेदातील संख्या समान असल्याने:

(3 + 1 - 2) / 5 = 2/5

पायरी 2 (दुसरा कंस सोडवणे):

छेद समान करण्यासाठी (2/5 च्या अंशाला व छेदाला 9 ने गुणून):

(36 - 18) / 45 = 18/45

18/45 ला संक्षिप्त रूप देऊन (9 ने भागून) = 2/5

पायरी 3 (गुणाकार करणे):

2/5 × 2/5

= (2 × 2) / (5 × 5) = 4/25

∴ सरळरूप = 4/25

योग्य पर्याय: (B) 4/25

 

प्र. 3.   एखाद्या अपूर्णांकात समान नैसर्गिक संख्या अंश व छेदात मिळवली तर नवीन अपूर्णांक :

(A) पहिल्यासारखाच राहतो             (B) लहान असतो

(C) मोठा असतो                             (D) मोठा वा लहान असू शकतो

उत्तर :

अंश व छेदात समान नैसर्गिक संख्या मिळवल्यास नवीन अपूर्णांकाची किंमत मूळ अपूर्णांकाच्या प्रकारावर अवलंबून असते:

उदा. 1 (छेदाधिक अपूर्णांक - Proper Fraction):

2/5 मध्ये अंश व छेदात 5 मिळवू:

(2 + 5) / (5 + 5) = 7/10

2/5 = 0.4 आणि 7/10 = 0.7

येथे, 2/5 < 7/10 (नवीन अपूर्णांक मूळ अपूर्णांकापेक्षा मोठा होतो)

उदा. 2 (अंशाधिक अपूर्णांक - Improper Fraction):

5/2 मध्ये अंश व छेदात 5 मिळवू:

(5 + 5) / (2 + 5) = 10/7

5/2 = 2.5 आणि 10/7 = 1.42

येथे, 5/2 > 10/7 (नवीन अपूर्णांक मूळ अपूर्णांकापेक्षा लहान होतो)

∴ नवीन अपूर्णांक मूळ अपूर्णांकापेक्षा मोठा वा लहान असू शकतो.

योग्य पर्याय: (D) मोठा वा लहान असू शकतो.

 

प्र. 4.    (4 1/2 + 2 1/2) × (4 1/2 - 2 1/2) = ?

(A) 12    (B) 16    (C) 14    (D) 18

उत्तर :

पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकाचे साध्या अपूर्णांकात रूपांतर करून पदावली सोडवण्याची पद्धत खालीलप्रमाणे:

पायरी 1 (पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकाचे साध्या अपूर्णांकात रूपांतर करणे):

4 ¹/₂ = (2 × 4 + 1) / 2 = (8 + 1) / 2 = 9/2

2 ¹/₂ = (2 × 2 + 1) / 2 = (4 + 1) / 2 = 5/2

पायरी 2 (कंस सोडवणे):

पहिला कंस: (9/2 + 5/2) = (9 + 5) / 2 = 14/2 = 7

दुसरा कंस: (9/2 - 5/2) = (9 - 5) / 2 = 4/2 = 2

पायरी 3 (गुणाकार करणे):

7 × 2 = 14

∴ उत्तर = 14

योग्य पर्याय: (C) 14

अजून वाचून पहा : 6 वी नवोदय : अंकगणित - अपूर्णांक - स्वाध्याय 8.1

प्र. 5.    (4/3 + 4/3) × (1/3 + 1/3) चे सोपे रूप :

(A) 11/9    (B) 13/9    (C) 16/9    (D) 10/3

उत्तर :

दिलेली पदावली:

(4/3 + 4/3) × (1/3 + 1/3)

पायरी 1 (कंस सोडवणे):

दोन्ही कंसांतील अपूर्णांकांचे छेद समान असल्याने थेट अंशांची बेरीज करू:

= ((4 + 4) / 3) × ((1 + 1) / 3)

= 8/3 × 2/3

पायरी 2 (गुणाकार करणे):

= (8 × 2) / (3 × 3)

= 16/9

∴ सोपे रूप = 16/9

योग्य पर्याय: (C) 16/9

 

प्र. 6.  [(1/2 × 3/2) + 1] ची किंमत काय ?

(A) 3/10    (B) 3/5    (C) 1 1/3    (D) 1 3/4

उत्तर :

दिलेली पदावली:

[(1/2 × 3/2) + 1]

पायरी 1 (आतील कंसाचा गुणाकार करणे):

= [(1 × 3) / (2 × 2) + 1]

= [3/4 + 1]

पायरी 2 (बेरीज करणे):

= (3 + 4 × 1) / 4

= (3 + 4) / 4

= 7/4

पायरी 3 (पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकात रूपांतर करणे):

7 ला 4 ने भागल्यास, भागाकार 1 व बाकी 3 उरते.

= 1 ³/₄

∴ किंमत = 1 ³/₄

योग्य पर्याय: (D) 1 3/4

प्र. 7.  दोन संख्यांची बेरीज 15/6 आहे. एक संख्या 7/6 असेल तर दुसरी संख्या :

(A) 4/3    (B) 9/6    (C) 5/6    (D) 11/6

उत्तर :

समजा दुसरी संख्या x मानू.

गणितातील अटीनुसार:

पायरी 1 (समीकरण मांडणे):

7/6 + x = 15/6

पायरी 2 (x ची किंमत काढण्यासाठी वजाबाकी करणे):

x = 15/6 - 7/6

x = (15 - 7) / 6

x = 8/6

पायरी 3 (संक्षिप्त रूप देणे):

8/6 ला अंश व छेदात 2 ने भागल्यास:

x = (2 × 4) / (2 × 3)

x = 4/3

∴ दुसरी संख्या = 4/3

योग्य पर्याय: (A) 4/3

Video Explanation :