6 वी नवोदय : अंकगणित - दशांश आणि व्यावहारिक अपूर्णांकांचे एकमेकांत रूपांतर - स्वाध्याय 5.1

                                 इयत्ता 6 वी नवोदय विद्यालय प्रवेश परीक्षेच्या अंकगणित प्रकरण 5, दशांश आणि व्यावहारिक अपूर्णांकांचे  एकमेकांत रूपांतर - स्वाध्याय 5.1, यातील सर्व उदाहरणे या पोस्ट मध्ये सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात खालील विविध पद्धतींवर आधारीत उदाहरणे देण्यात आलेली आहेत. 

1) सहावी नवोदय अंकगणिताचं पाचवं प्रकरण ज्याचं नाव आहे दशांश आणि व्यावहारिक अपूर्णांकांचे एकमेकांत रूपांतर याच्या स्वाध्याय 5.1 च्या पहिल्या गणितामध्ये आपल्याला एक अपूर्णांकात संख्या दिलेली आहे आणि त्या अपूर्णांकातील संख्येचं दशांश अपूर्णांकांमध्ये रूपांतर करायचं आहे.

2) दिलेल्या अपूर्णांकाचं दशांश अपूर्णांकात conversion करत असतांना छेदामध्ये जेवढे शून्य असतील तेवढे घरं अंशातील दशांश चिन्ह डावीकडे सरकते.

3) या स्वाध्यायतील दुसऱ्या प्रश्नामध्ये एक mixed fraction दिलेला आहे. 1 5/8. याला दशांश संख्येमध्ये convert करायला सांगितलेले आहे.

4) Mixed fraction सोडवत असताना छेद आणि पूर्णांक यांचा गुणाकार करावा आणि आलेल्या उत्तरामध्ये अंश मिळवावा आणि येणा-या उत्तरामध्ये छेद जसाचा तसा लिहावा. यानंतर भागाकार करून दिलेल्या अपूर्णांकाचं रूपांतर दशांश अपूर्णांकामध्ये करावे.

5) तिसऱ्या प्रश्नामध्ये दशांश चिन्हामध्ये दिलेल्या संख्येला अपूर्णांकामध्ये लिहायचं आहे, अंश रूपात लिहायचं आहे. अशावेळी दिलेल्या दशांश संख्येमध्ये दशांश चिन्हाच्या उजवीकडे जेवढे घरं असतील तेवढं divide by एकावरती शून्य लिहायचे आणि वरील अंशातील संख्येमधला दशांश चिन्ह काढून टाकायचं. नंतर असा table शोधायचा किंवा असा पाढा शोधायचा ज्याच्यामध्ये दोन्ही संख्या येत असतील. तो common table cancel होऊन जातो आणि ज्या number वर त्या संख्या येत असतील ते आपलं शेवटचं उत्तर असते.

6) चौथ्या प्रश्नामध्ये अपूर्णांकांमध्ये गुणाकार दिलेला आहे. अंशामध्ये दोन संख्या दिलेल्या आहेत गुणाकाराच्या स्वरूपात आणि छेदामध्ये तीन संख्या दिलेल्या आहेत गुणाकाराच्या स्वरूपात. यांच्यामध्ये जिथे cut short करता येईल, जिथे संक्षेप भाग देता येईल तिथे संक्षेप भाग देऊन साध्या अपूर्णांक मध्ये त्याचं conversion करावं आणि भागाकार करून दशमान पद्धतीने त्याला लिहावं.

7) पाचवा प्रश्न हा पहिल्या प्रश्नासारखाच आहे. यामध्ये सुद्धा अपूर्णांक दिलेला आहे. छेदामध्ये जेवढे शून्य असतील तेवढं अंशाचा अंशातील संख्येचा दशांश चिन्ह डावीकडे सरकते.

8) सहाव्या प्रश्नामध्ये अपूर्णांकांमध्ये दिलेल्या संख्यांचे बेरीज करायची आहे. दशांश अपूर्णांकामध्ये दिलेल्या संख्यांची बेरीज करत असतांना दोन्ही terms च्या छेदांना पहिले समान करावे. त्यासाठी दशांश चिन्ह योग्य पद्धतीने सरकवून दोघांचे छेद समान करावेत. दोघं संख्यांचा समान छेद common घेऊन अंशाची बेरीज करावी आणि आलेल्या अपूर्णांकाला भागाकार देऊन त्याचं उत्तर लिहावं.

9) सातवा प्रश्न याच्यामध्ये सुद्धा दशांश अपूर्णांकामध्ये संख्या अंशात सुद्धा आणि छेदात सुद्धा दिलेली आहे. अंशातील संख्यांची दशांश चिन्ह उजवीकडे सरकवावी. जेवढी अंशाची दशांश चिन्ह उजवीकडे सरकवलेली आहेत तेवढीच छेदाची सुद्धा सरकवावी. अंशामध्ये जर का पाच घरं सरकवलेली असतील उजवीकडे तर छेदामध्ये सुद्धा पाच घरं सरकवून दिलेल्या संख्यांना संक्षिप्त रूप देऊन उत्तर सोप्या मांडणीमध्ये लिहावे.

10) अशा प्रकारची 7 प्रश्न या स्वाध्यायात दिलेली आहेत. 

प्र. 1. 17/1000 म्हणजे दशांश अपूर्णांकात किती ?

(A) 0.17       (B) 0.017       (C) 1.7       (D) 0.0017

उत्तर :

दिलेला अपूर्णांक:

17 1000

= 0.017

उत्तर: पर्याय (B) 0.017

---

महत्वाचा नियम (Important Rule):

एखाद्या अपूर्णांकाच्या छेदामध्ये (Denominator) जेवढे शून्य असतात, त्याच्या अंशाचे (Numerator) दशांश चिन्ह तेवढे घरं डावीकडे सरकते.

• येथे छेद 1000 आहे, ज्यामध्ये 3 शून्य आहेत.
• म्हणून, अंशातील संख्या 17 चे दशांश चिन्ह डावीकडे 3 घरं सरकेल.
• 17 चे दशांश चिन्ह डावीकडे 3 घरं सरकवल्यास उत्तर 0.017 येते.

प्र. 2. 1 5/8 च्या बरोबरीची दशांशातील संख्या कोणती ?

(A) 1.58     (B) 1.62     (C) 1.622     (D) 1.625

उत्तर :

दिलेला पूर्णांकयुक्त अपूर्णांक अंश-छेद रूपात रूपांतरित करू:

1

5 8

=

1 × 8 + 5 8

=

13 8

आता, 13 ला 8 ने भाग देवून दशांश रूप मिळवू:

13 ÷ 8 = 1.625

1

5 8

=

13 8

= 1.625

उत्तर: पर्याय (D) 1.625

---

पायऱ्या (Steps):

• पहिली पायरी: पूर्णांकयुक्त अपूर्णांक अंश-छेद रूपात लिहा 1 x 8) + 5 = 13, म्हणून अपूर्णांक 13/8 होतो.
• दुसरी पायरी: अंश 13 ला छेद 8 ने भाागा.
• भागाकार केल्यावर उत्तर 1.625 येते.

 

प्र. 3. 0.0725 या संख्येला सोप्या अंशरूपात लिहिल्यास प्राप्त होईल :

(A) 29 / 4000     (B) 29 / 400     (C) 29 / 40     (D) 129 / 400

उत्तर :

दिलेल्या दशांश संख्येचे अपूर्णांकात रूपांतर करू:

0.0725 =

725 10000

अंश आणि छेद यांना अतिसंक्षिप्त (सोपे) रूप देण्यासाठी अवयव पाडू:

=

25 × 29 25 × 400

=

29 400

उत्तर: पर्याय (B) 29 / 400

---

पायऱ्या (Steps):

• पहिली पायरी: दशांश चिन्हानंतर 4 अंक असल्यामुळे छेदामध्ये 1 वर 4 शून्य (10000) घ्या.  725 / 10000
• दुसरी पायरी: अंश आणि छेद या दोन्ही संख्यांना 25 ने भाग द्या.
• भाग दिल्यानंतर अतिसंक्षिप्त रूप 29 / 400 मिळते.

 

प्र. 4.  (153 x 500) / (25 x 100 x 4) ची किंमत दशमान पद्धतीमध्ये आहे –

(A) 76.50     (B) 765.00     (C) 7.65     (D) 7650.00

उत्तर :

दिलेली पदावली अंश-छेद रूपात मांडून सोपे रूप देऊ:

153 × 500 25 × 100 × 4

शून्य आणि संख्यांचा संक्षेप (भाग) करू:

=

153 5 × 4

=

153 20

= 7.65

आता, 153 ला 20 ने भाग देवून दशांश रूप मिळवू:

153 ÷ 20 = 7.65

उत्तर: पर्याय (C) 7.65

---

पायऱ्या (Steps):

• पहिली पायरी: 500 ला 100 ने भागल्यास अंशात 5 उरतात. (153 x 5) / (25 x 4)
• दुसरी पायरी: अंशातील 5 ने छेदातील 25 ला भागल्यास छेदात 5 उरतात. 153 / (5 x 4)
• तिसरी पायरी: छेदामधील 5 × 4 = 20 मिळतात, ज्यामुळे अपूर्णांक 153 / 20 होतो.
• चौथी पायरी: 153 ला 20 ने भागल्यास उत्तर 7.65 येते.

अजून वाचून पहा : 6 वी नवोदय : अंकगणित - दशांश अपूर्णांक आणि त्यावरील मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 4.3

प्र. 5. 61 / 10000 ही संख्या दशमान पद्धतीने कशी लिहाल ?

(A) 610000     (B) 0.61000     (C) 0.0061     (D) 0.00061

उत्तर :

दिलेला अपूर्णांक:

61 10000

= 0.0061

उत्तर: पर्याय (C) 0.0061

---

महत्वाचा नियम (Important Rule):

एखाद्या अपूर्णांकाच्या छेदामध्ये (Denominator) जेवढे शून्य असतात, त्याच्या अंशाचे (Numerator) दशांश चिन्ह तेवढे घरं डावीकडे सरकते.

• येथे छेद 10000 आहे, ज्यामध्ये 4 शून्य आहेत.
• म्हणून, अंशातील संख्या 61 चे दशांश चिन्ह डावीकडे 4 घरं सरकेल.
• 61 चे दशांश चिन्ह डावीकडे 4 घरं सरकवल्यास उत्तर 0.0061 येते.

 

प्र. 6. ( 0.07 / 0.7 + 0.7 / 0.07) चे उत्तर पुढीलपैकी कोणते ?

(A) 101 / 10     (B) 11 / 10     (C) 101 / 100     (D) 1001 / 100

उत्तर :

दिलेली पदावली सोपी करू:

0.07 0.7

+

0.7 0.07

छेदामधील दशांश चिन्ह काढण्यासाठी दोन्ही अपूर्णांकांच्या अंश आणि छेदाला योग्य संख्येने गुणाकार करू (समान छेद मिळवू):

=

0.7 7

+

70 7

=

0.7 + 70 7

=

70.7 7

= 10.1 =

101 10

उत्तर: पर्याय (A) 101 / 10

---

पायऱ्या (Steps):

• पहिली पायरी: पहिल्या अपूर्णांकातील 0.07 / 0.7 चा छेद समान करण्यासाठी 10 ने गुणल्यास 0.7 / 7 मिळते.
• दुसरी पायरी: दुसऱ्या अपूर्णांकातील 0.7 / 0.07 चे दशांश चिन्ह काढण्यासाठी 100 ने गुणल्यास 70 / 7 मिळते.
• तिसरी पायरी: दोन्ही अपूर्णांकांचा छेद समान (7) असल्यामुळे अंशाची बेरीज करा (0.7 + 70) / 7 = 70.7 / 7.
• चौथी पायरी: 70.7 ला 7 ने भागल्यास 10.1 उत्तर मिळते.
• पांचवी पायरी: 10.1 चे अपूर्णांकात रूपांतर केल्यास 101 / 10 उत्तर मिळते.

 

प्र. 7. (0.36 x 2.7 x 0.01) / (0.03 x 0.06 x 0.2) = किती ?

(A) 27       (B) 36       (C) 18       (D) 58

उत्तर :

दिलेली पदावली अंश-छेद रूपात मांडून सोपे रूप देऊ:

0.36 × 2.7 × 0.01 0.03 × 0.06 × 0.2

अंश आणि छेद या दोन्ही ठिकाणच्या दशांश स्थानांची संख्या समान (5 दशांश स्थळे) असल्यामुळे दशांश चिन्हे काढून टाकू:

=

36 × 27 × 1 3 × 6 × 2

संख्यांचा भाग देऊन सोपे रूप देऊ:

=

972 36

= 27

उत्तर: पर्याय (A) 27

---

पायऱ्या (Steps):

• पहिली पायरी: अंशातील एकूण दशांश स्थळे मोजा 2 + 1 + 2 = 5 घरं.
• दुसरी पायरी: छेदातील एकूण दशांश स्थळे मोजा 2 + 2 + 1 = 5 घरं.
• तिसरी पायरी: अंशातील आणि छेदातील दशांश स्थानांची संख्या समान असल्यामुळे दशांश चिन्हे निघून जातात. (36 × 27 × 1) / (3 × 6 × 2).
• चौथी पायरी: 36 ला (3 × 6 = 18) ने भागल्यास 2 उरतात. नंतर छेदातील 2 ने 2 ला भागल्यास 1 उरतो.
• पांचवी पायरी: शेवटी 27 × 1 = 27 हे उत्तर मिळते.

Video Explanation :