6 वी नवोदय : अंकगणित - गणितीय पदावलींचे सरलीकरण - स्वाध्याय 7.2

                                 इयत्ता 6 वी नवोदय विद्यालय प्रवेश परीक्षेच्या अंकगणित प्रकरण 7, गणितीय पदावलींचे सरलीकरण - स्वाध्याय 7.2, यातील सर्व उदाहरणे या पोस्ट मध्ये सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात खालील विविध पद्धतींवर आधारीत उदाहरणे देण्यात आलेली आहेत. 

1) इयत्ता सहावी नवोदयचं अंकगणिताचं सातवं प्रकरण, 'गणितीय पदावलींचे सरलीकरण'. यामध्ये स्वाध्याय 7.2 यामधील पहिल्या प्रश्नामध्ये एक रचना दिलेली आहे, त्यामध्ये 4, 9, 16 असे numbers दिलेले आहेत आणि या रचनेतील पुढील तीन अंक शोधायला सांगितलेले आहे. 4 हा 2 चा square आहे, 9 हा 3 चा square आहे, 16 हा 4 चा square आहे; म्हणून पुढील तीन अंक 5 चा square 25, 6 चा square 36, 7 चा square 49 असे असतील.

2) दुसऱ्या प्रश्नामध्ये एक आकृती दिलेली आहे आणि आकृतीमध्ये प्रश्नचिन्हाच्या जागी कोणती संख्या येईल हे शोधायला सांगितलेलं आहे. आकृत्यांमध्ये त्रिकोण दिलेले आहेत आणि त्रिकोणाच्या बाहेरील संख्यांवरून आतील संख्या कशा काढायच्या, यासंबंधीचा प्रश्न विचारला गेलेला आहे. त्रिकोणाच्या मध्यभागातील संख्या काढत असताना त्रिकोणाच्या डावीकडील संख्येमधून त्रिकोणाच्या उजवीकडील संख्या वजा करावी आणि आलेल्या उत्तराला तळाच्या संख्येने गुणावे म्हणजे मध्यभागातील संख्या आपल्याला मिळते.

3) तिसऱ्या प्रश्नामध्ये परत एक मालिका दिलेली आहे आणि या मालिकेचं पुढचं पद काढण्यास सांगितलेलं आहे. या मालिकेमध्ये पहिल्या दोन अंकांची बेरीज तिसरा अंक येतो, दुसऱ्या आणि तिसऱ्या अंकाची बेरीज चौथा अंक येतो, तिसऱ्या आणि चौथ्या अंकाची बेरीज पाचवा अंक येतो; अशाचप्रमाणे चौथ्या आणि पाचव्या अंकाची बेरीज हे आपलं उत्तर असेल.

4) चौथ्या प्रश्नामध्ये एक पदावली दिलेली आहे. या पदावलीला BODMAS चा rule वापरून solve करायचं आहे. BODMAS च्या rule च्या साहाय्याने solve करत असताना आधी bracket solve करायचा. Bracket मध्ये सुद्धा आधी रेषा कंस, नंतर साधा कंस, नंतर महिरपी कंस आणि त्यानंतर मग चौकोनी कंस अशा पद्धतीने क्रम ठेवून सरलीकरण करायचं. नंतर गुणाकार व बेरीज करून शेवटचं उत्तर काढावं.

5) पाचव्या प्रश्नामध्ये एक आकृती दिलेली आहे. त्या आकृतीमध्ये 'अ' आणि 'इ' या दोन शहरांमधील अंतर दिलेलं आहे. सांगितलं आहे की 'ब' ठिकाणी हॉटेल आहे आणि 'ड' ठिकाणी दवाखाना आहे; तर 'ब' ठिकाणापासून दवाखान्यामध्ये 'ड' ठिकाणी जायचं असेल, तर व्यक्तीला किती अंतरावर न्यायला लागेल? यासंबंधीचा प्रश्न विचारला गेलेला आहे.

6) सहाव्या प्रश्नामध्ये परत एक मालिका दिलेली आहे. या मालिकेतलं पुढचं पद काढायला सांगितलेलं आहे. याच्यामध्ये 12 आणि 3, 15 होतात; 15 आणि 4, 19 होतात; 19 आणि 5, 24; 24 आणि 6, 30; तर 30 आणि 7, 37 हे आपलं answer पाहिजे.

7) सातव्या प्रश्नामध्ये परत काड्यांनी बनवलेला एक आकृतीबंध दिलेला आहे आणि विचारलंय की 10 त्रिकोण जर का असे बनवायचे असतील तर किती काड्या लागतील?

8) आठव्या प्रश्नामध्ये एक गुणाकार दिलेला आहे. खूप लांबलचक गुणाकार आहे, पण त्यामध्ये एक शून्य दिलेला आहे आणि म्हणून कोणत्याही संख्येला शून्याने गुणल्यावर उत्तर शून्य येते, म्हणून या पूर्ण गुणाकाराचं उत्तर शून्य येईल.

9) नवव्या प्रश्नामध्ये आपल्याला अपूर्णांकांमध्ये समानता दिलेली आहे आणि त्या अपूर्णांकांमध्ये x ही संख्या दिलेली आहे, आणि simplify करून आपल्याला x ची किंमत काढायची आहे.

10) दहाव्या प्रश्नामध्ये A, B आणि C असे तीन letters आपल्याला एका उदाहरणामध्ये दिलेले आहेत आणि त्यांच्या किमती काढायला सांगितलेलं आहे.

11) अशा पद्धतीने या स्वाध्याय 7.2 मध्ये एकूण 10 प्रश्न विचारली गेलेली आहेत.

प्र. 1.    4, 9, 16, ... या रचनेचे पुढील तीन अंक आहेत –

(A) 20, 24, 28     (B) 23, 30, 37     (C) 25, 36, 49     (D) 25, 35, 45

उत्तर :

दिलेली मालिका वर्ग संख्यांची (Square numbers) मालिका आहे:

(2)² = 4

(3)² = 9

(4)² = 16

याच क्रमाने पुढील तीन संख्यांचे वर्ग खालीलप्रमाणे मिळतील:

(5)² = 25

(6)² = 36

(7)² = 49

∴ पुढील तीन अंक = 25, 36, 49

योग्य पर्याय: (C) 25, 36, 49

प्र. 2.    पुढील आकृतिबंधाचे निरीक्षण करा व '?' च्या जागी येणारी योग्य संख्या शोधा.

    (A) 2    (B) 4    (C) 6    (D) 8

उत्तर :

त्रिकोणाच्या बाहेरील संख्यांवरून आतील संख्या मिळवण्याचा नियम खालीलप्रमाणे आहे:

नियम: (डावीकडील संख्या - उजवीकडील संख्या) × तळाची संख्या = मध्यभागातील संख्या

पहिला त्रिकोण:

3 - 2 = 1

4 × 1 = 4

दुसरा त्रिकोण:

15 - 13 = 2

3 × 2 = 6

तिसरा त्रिकोण:

17 - 13 = 4

4 × 2 = 8

याच नियमानुसार, चौथ्या त्रिकोणासाठी:

चौथा त्रिकोण:

12 - 10 = 2

2 × 2 = 4

∴ '?' च्या जागी येणारी संख्या = 4

योग्य पर्याय: (B) 4

 

प्र. 3.    4, 7, 11, 18, 29, ... या मालिकेतील पुढचे पद आहे –

     (A) 47    (B) 45    (C) 40    (D) 36

उत्तर :

या मालिकेत मागील दोन संख्यांची बेरीज करून पुढील संख्या मिळवलेली आहे:

4 + 7 = 11

7 + 11 = 18

11 + 18 = 29

याच नियमानुसार, मालिकेतील पुढचे पद खालीलप्रमाणे मिळेल:

18 + 29 = 47

∴ मालिकेतील पुढचे पद = 47

योग्य पर्याय: (A) 47

 

प्र. 4.    10 x 10 + [400 / {100 - (50 – 3 x 10)}] सोडवल्यास हाती येईल :

     (A) 265    (B) 65    (C) 310    (D) 105

उत्तर :

BODMAS नियमानुसार पदावली सोडवण्याची पायरी खालीलप्रमाणे आहे:

पायरी 1 (रेषाकंस / Vinculum):

3 × 10 = 30

पायरी 2 (साधा कंस / Simple Bracket):

50 - 30 = 20

पायरी 3 (महिरपी कंस / Curly Bracket):

100 - 20 = 80

पायरी 4 (चौकोनी कंस / Square Bracket):

400 ÷ 80 = 5

पायरी 5 (गुणाकार व बेरीज):

10 × 10 = 100

100 + 5 = 105

∴ उत्तर = 105

योग्य पर्याय: (D) 105

अजून वाचून पहा : 6 वी नवोदय : अंकगणित - गणितीय पदावलींचे सरलीकरण - स्वाध्याय 7.1

प्र. 5.    एका महामार्गावरील 'अ' आणि 'ई' या दोन शहरांतील अंतर 220 किमी आहे. 'ब' या ठिकाणी हॉटेल आहे व 'ड' या ठिकाणी दवाखाना आहे. जर 'ब' या ठिकाणी एका वाहनास अपघात झाला, तर वैद्यकीय मदत मिळवण्यासाठी जखमी माणसाला किती अंतरावर न्यावे लागेल ?

    (A) 90 किमी (B) 60 किमी (C) 120 किमी (D) 130 किमी

उत्तर :

उदाहरणात दिलेल्या माहितीनुसार 'अ' आणि 'ई' मधील एक एकूण अंतर 220 किमी असून त्याचे 22 समान भाग (रेघा) केलेले आहेत:

पायरी 1 (दोन लहान रेघांमधील अंतर):

दोन लहान रेघांमधील अंतर = 220 / 22 = 10 किमी

पायरी 2 ('ब' पासून 'ड' पर्यंतचे रेघांमधील अंतर):

'ब' (हॉटेल) ठिकाणापासून 'ड' (दवाखाना) ठिकाणापर्यंत एकूण 12 रेघा (भाग) आहेत.

पायरी 3 (एकूण अंतर):

'ब' ठिकाणापासून 'ड' ठिकाणापर्यंतचे अंतर = 12 × 10 = 120 किमी

∴ वैद्यकीय मदत मिळवण्यासाठी जखमी माणसाला 120 किमी अंतरावर न्यावे लागेल.

योग्य पर्याय: (C) 120 किमी

 

प्र. 6.   12, 15, 19, 24, 30, ... या मालिकेतील पुढील पद आहे –

    (A) 35    (B) 36    (C) 37    (D) 38

उत्तर :

या मालिकेत मागील संख्येत अनुक्रमे 3, 4, 5, 6... मिळवून पुढील संख्या मिळवलेली आहे:

12 + 3 = 15

15 + 4 = 19

19 + 5 = 24

24 + 6 = 30

याच क्रमाने पुढील संख्या मिळवण्यासाठी 30 मध्ये 7 मिळवावे लागतील:

30 + 7 = 37

∴ मालिकेतील पुढचे पद = 37

योग्य पर्याय: (C) 37

 

प्र. 7.  काड्यांनी बनवलेल्या पुढील त्रिकोणांच्या आकृतिबंधाचे निरीक्षण करा. 10 त्रिकोण बनवण्यासाठी किती काड्या लागतील, असे तुम्हांला वाटते ?

(A) 15    (B) 19    (C) 21    (D) 25

उत्तर :

काड्यांपासून बनवलेल्या त्रिकोणांची संख्या आणि लागणाऱ्या काड्यांची संख्या यांमधील संबंध दर्शवणारे सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:

सूत्र: आगकाड्यांची संख्या = (त्रिकोणांची संख्या × 2) + 1

1 त्रिकोणासाठी: 1 × 2 + 1 = 3

2 त्रिकोणांसाठी: 2 × 2 + 1 = 5

3 त्रिकोणांसाठी: 3 × 2 + 1 = 7

4 त्रिकोणांसाठी: 4 × 2 + 1 = 9

याच नियमानुसार, 10 त्रिकोण बनवण्यासाठी लागणाऱ्या आगकाड्यांची संख्या खालीलप्रमाणे मिळेल:

10 त्रिकोणांसाठी: 10 × 2 + 1 = 21

∴ 10 त्रिकोण बनवण्यासाठी 21 काड्या लागतील.

योग्य पर्याय: (C) 21

प्र. 8.    243 x 3 x 2^2 x 5^2 x 0 x 4 या गुणाकाराची किंमत किती ?

    (A) 234564    (B) 32121215    (C) 1854212    (D) 0

उत्तर :

दिलेली पदावली:

243 × 3 × 2² × 5² × 0 × 4

नियम: कोणत्याही संख्येला शून्याने (0) गुणले असता गुणाकार नेहमी शून्यच येतो.

243 × 3 × 2² × 5² × 0 × 4 = 0

∴ गुणाकारात शून्य (0) असल्यामुळे उत्तर = 0

योग्य पर्याय: (D) 0

प्र. 9.     जर x/25 = 196/x असेल, तर ‘x’ आहे :

    (A) 56    (B) 70    (C) 84    (D) 42

उत्तर :

दिलेले समीकरण:

x / 25 = 196 / x

तिरकस गुणाकार (Cross Multiplication) करून:

x × x = 25 × 196

x² = (5)² × (14)²

दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन:

x = 5 × 14

x = 70

∴ x ची किंमत = 70

योग्य पर्याय: (B) 70

प्र. 10.    6A x 8 = BC4,  तर A, B, C च्या किंमती अनुक्रमे आहेत –

     (A) 3, 5, 0    (B) 5, 0, 3    (C) 5, 3, 0    (D) 0, 3, 5

उत्तर :

दिलेले समीकरण:

6A × 8 = BC4

पर्याय (A) मधील A = 3, B = 5, C = 0 या किंमती वापरून पाहू:

डावी बाजू: 63 × 8 = 504

उजवी बाजू: BC4 = 504

504 = 504 (डावी बाजू = उजवी बाजू)

∴ A, B, C च्या किंमती अनुक्रमे 3, 5, 0 आहेत.

योग्य पर्याय: (A) 3, 5, 0

Video Explanation :