6 वी नवोदय : अंकगणित - परिमिती व क्षेत्रफळ - स्वाध्याय 10.2
6 वी नवोदय : अंकगणित - परिमिती व क्षेत्रफळ - स्वाध्याय 10.2
इयत्ता 6 वी नवोदय विद्यालय प्रवेश परीक्षेच्या अंकगणित प्रकरण 10, परिमिती व क्षेत्रफळ - स्वाध्याय 10.2, यातील सर्व उदाहरणे या पोस्ट मध्ये सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात खालील विविध पद्धतींवर आधारीत उदाहरणे देण्यात आलेली आहेत.
1) स्वाध्याय 10.2 याच्या पहिल्या प्रश्नामध्ये आपल्याला एका आयताकृती शेताचं माप दिलेलं आहे. त्याची लांबी आणि रुंदी दिलेली आहे आणि सांगितलं आहे की या आयताकृती शेताचं क्षेत्रफळ चौरसाकृती शेताइतकं आहे, तर त्या चौरसाकृती शेताची बाजू किती असेल, ही meter मध्ये आपल्याला काढायला सांगितलेली आहे.
2) हे उदाहरणं हे उदाहरण सोडवत असताना, आयताकृती शेताचे क्षेत्रफळ काढून त्याला चौरसाच्या क्षेत्रफळाच्या इतकं लिहावं आणि चौरसाच्या क्षेत्रफळाचा formula टाकून जो की असतो बाजूचा वर्ग, त्यामध्ये ते आयताकृती शेताचं जे क्षेत्रफळ आलेलं आहे, ते कोणत्या संख्येचा वर्ग आहे हे शोधून जे उत्तर आपल्याला मिळेल ते त्या चौरसाकृती शेताची बाजू असेल.
3) या स्वाध्यायातील दुसऱ्या प्रश्नामध्ये, एक सभागृह दिलेलं आहे. त्या सभागृहाची लांबी आणि रुंदी दिलेली आहे. त्या सभागृहाला मढवण्यासाठी आयताकार फरश्या लावायच्या आहेत. फरशीचं सुद्धा माप दिलेलं आहे. तर त्या सभागृहाला मढवण्यासाठी अशा किती आयताकार फरश्या लागतील, हे विचारण्यात आलेलं आहे. फरश्यांची संख्या काढायची असेल तर सभागृहाचे क्षेत्रफळ काढून त्याला आयताकार फरशीच्या क्षेत्रफळाने भाग दिल्यानंतर संक्षिप्त रूप देऊन जे उत्तर मिळेल ते म्हणजे त्या फरश्यांची संख्या असेल.
4) तिसऱ्या प्रश्नामध्ये अलिने एका 100 cm लांबीच्या तारेचा एक काटकोन चौकोन बनवला. म्हणजेच 100 cm ही त्या काटकोन चौकोनाची म्हणजेच या case मध्ये चौरसाची परिमिती असेल. या चौरसाच्या परिमितीचा formula टाकून चौरसाची बाजू काढायची आणि ती बाजू मिळाल्यानंतर त्या चौकोनाचे क्षेत्रफळ बाजूचा वर्ग हा formula वापरून सोडवायचे.
5) चौथ्या प्रश्नामध्ये एका चौरसाकृती तुकड्याची परिमिती दिलेली आहे त्यावरून चौरसाची बाजू काढून त्या चौरसाचं क्षेत्रफळ आपल्याला काढता येईल.
6) पाचव्या प्रश्नामध्ये एक डबा दिलेला आहे. त्या डब्याची लांबी, रुंदी आणि उंची आपल्याला दिलेली आहे आणि सांगितलं आहे की त्या डब्याचं झाकणाशिवाय किती पृष्ठफळ असेल? एकूण पृष्ठफळ काढायला सांगितलं आहे पण एकूण पृष्ठफळ हे जे झाकणाशिवायचं काढायचं आहे. मग अशा वेळी जे झाकणाशिवायचा डबा आहे, त्याचं एकूण पृष्ठफळ काढण्याचा formula असतो: 2(L × B + B × H + H × L) - L × B, अशा पद्धतीने झाकणाच्या झाकणाशिवायच्या डब्याचे एकूण पृष्ठफळ आपल्याला काढता येते.
7) सहाव्या प्रश्नामध्ये हॉल दिलेला आहे. हॉलचं माप दिलेलं आहे, आयताकृती हॉल आहे. त्या हॉलमध्ये आयताकृती फरश्या बसवायच्या बसवायच्या आहेत. तर किती फरश्या त्या हॉलमध्ये लागतील हे काढायला सांगितलेलं आहे. यामध्ये सुद्धा हॉलसाठी लागणाऱ्या फरश्यांची संख्या ही काढायची असेल तर हॉलच्या एकूण क्षेत्रफळाला आयताकार फरशीच्या क्षेत्रफळाने भाग द्यावा लागेल.
8) सातव्या प्रश्नामध्ये एक काटकोन त्रिकोण दिलेला आहे. काटकोन त्रिकोणाची उंची आणि पाया दिलेला आहे. त्यावरून पायथागोरसचे प्रमेय वापरून आपल्याला काटकोन त्रिकोणाचा hypotenuse म्हणजेच कर्ण काढावा लागेल आणि कर्ण काढून झाल्यानंतर त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंची बेरीज म्हणजे त्या काटकोन त्रिकोणाची परिमिती असेल.
9) आठव्या प्रश्नामध्ये परत एका हॉलची लांबी आणि रुंदी दिलेली आहे. सांगितलं आहे की लांबी आणि रुंदीमध्ये 23 meter ची तफावत आहे. आपल्याला सांगितलं आहे की हॉलची परिमिती 206 meter आहे. मग हॉलच्या परिमितीचा म्हणजे आयताच्या परिमितीचा formula वापरून लांबी आणि लांबीच्या स्वरूपात रुंदीची किंमत टाकून solve केल्यानंतर आपल्याला त्या हॉलची लांबी आणि रुंदी मिळून जाईल आणि लांबी आणि रुंदी मिळाल्यानंतर हॉलचे एकूण क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी हा formula वापरून आपल्याला काढता येईल.
10) नवव्या प्रश्नामध्ये सुद्धा खोलीमध्ये लागणाऱ्या tiles ची संख्या आपल्याला दिलेली आहे, 7500 tiles एका खोलीमध्ये लागताय. त्या खोलीची लांबी आपल्याला दिलेली आहे, tiles चं माप दिलेलं आहे. याच्यामध्ये formula वापरून खोलीसाठी लागणाऱ्या फरश्यांची संख्या = खोलीचे क्षेत्रफळ / आयताकार फरशीचे क्षेत्रफळ हा formula वापरून आपल्याला त्या खोलीची रुंदी काढता येईल.
11) दहाव्या प्रश्नामध्ये सुद्धा हॉलचं माप आपल्याला दिलेलं आहे, लांबी आणि रुंदी दिलेली आहे. हॉलमध्ये लाद्या बसवायच्या आहेत, म्हणजेच फरश्या बसवायच्या आहेत, फरश्यांचं माप सुद्धा दिलेलं आहे आणि किती फरश्या लागतील ते काढायचं आहे. हा प्रश्न याआधी सोडवलेल्या प्रश्नांप्रमाणेच आहे.
12) या पद्धतीने या स्वाध्यायमध्ये असे एकूण 10 प्रश्न दिलेले आहेत.
प्र. 1. 64
मी x 36 मी मापाच्या
आयताकृती शेताचे क्षेत्रफळ जर एका चौरसाकृती शेताइतके असेल, तर
त्या चौरसाकृती शेताची बाजू (मी मध्ये) आहे.
(A) 64 (B)
48 (C) 36 (D) 24
उत्तर :
पायरी 1: दिलेल्या अटीनुसार समीकरण मांडणे (Set up the equation)
आयताकृती शेताची लांबी = 64 मी, रुंदी = 36 मी
आयताकृती शेताचे क्षेत्रफळ = चौरसाकृती शेताचे क्षेत्रफळ
| लांबी × रुंदी = (बाजू)2 |
| 64 × 36 = (बाजू)2 |
पायरी 2: चौरसाची बाजू काढा (Calculate the side of square)
| बाजू = √(64 × 36) |
| बाजू = 8 × 6 |
| ∴ बाजू = 48 मी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (B) 48
प्र. 2. 12 मी x
10 मी च्या
सभागृहाला मढवण्यासाठी 10 सेमी x 8 सेमी च्या किती
आयताकार फरश्या लागतील ?
(A) 12,000
(B) 15,000 (C) 10,000 (D) 18,000
उत्तर :
पायरी 1: दिलेली मापे नोंदवणे आणि एकके समान करणे (Note given measurements & convert units)
सभागृहाचे माप = 12 मी × 10 मी
आयताकार फरशीचे माप = 10 सेमी × 8 सेमी
मीटरमध्ये रुपांतर केल्यास =
| 10 |
| 100 |
| 8 |
| 100 |
पायरी 2: फरश्यांची संख्या काढण्यासाठी सूत्र वापरणे (Apply formula for number of tiles)
सभागृहासाठी लागणाऱ्या फरश्यांची संख्या =
| सभागृहाचे क्षेत्रफळ |
| आयताकार फरशीचे क्षेत्रफळ |
| = |
|
| = |
|
पायरी 3: संक्षिप्त रूप देणे (Simplify)
| = 3 × 100 × 50 |
| = 15,000 |
अंतिम उत्तर: पर्याय (B) 15,000
प्र. 3. अलीने 100 सेमी
लांबीच्या तारेचा एक काटकोण चौकोन बनवला. या काटकोण चौकोनाचे कमाल क्षेत्रफळ किती
असू शकेल ?
(A) 100 चौसेमी (B) 400 चौसेमी (C) 10,000 चौसेमी (D) 625 चौसेमी
उत्तर :
संकल्पना (Concept):
दिल्या गेलेल्या ठराविक लांबीच्या तारेपासून कमाल (जास्तीत जास्त) क्षेत्रफळ असणारा काटकोन चौकोन तयार करायचा असेल, तर तो चौरस (Square) असावा लागतो.
पायरी 1: चौरसाची बाजू काढा (Find the side of the square)
तारेची एकूण लांबी (चौरसाची परिमिती) = 100 सेमी
चौरसाची परिमिती = 4 × बाजू
| 100 = 4 × बाजू |
| बाजू = |
|
| ∴ बाजू = 25 सेमी |
पायरी 2: चौरसाचे क्षेत्रफळ काढा (Calculate Area of the Square)
चौरसाचे क्षेत्रफळ = (बाजू)2
| = (25)2 |
| = 625 चौ. सेमी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (D) 625 चौसेमी
प्र. 4. एका चौरसाकृती
जमिनीच्या तुकड्याची परिमिती 160 मीटर आहे, तर त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
(A) 100 चौमी
(B) 160
चौमी (C) 400 चौमी (D) 1600 चौमी
उत्तर :
पायरी 1: चौरसाची बाजू काढा (Find the side of the square)
चौरसाची परिमिती = 160 मीटर
चौरसाची परिमिती = 4 × बाजू
| 160 = 4 × बाजू |
| ∴ बाजू = |
|
| ∴ बाजू = 40 मी |
पायरी 2: चौरसाचे क्षेत्रफळ काढा (Calculate Area of the Square)
चौरसाचे क्षेत्रफळ = (बाजू)2
| = (40)2 |
| = 1600 चौ. मी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (D) 1600 चौमी
प्र. 5. 9 मी लांबी,
2 मी रुंदी आणि
50 सेमी उंची असलेल्या (झाकणा शिवायच्या) उघड्या
डब्याच्या पत्र्याचे एकूण पृष्ठफळ किती असेल ?
(A) 29 मी²
(B) 27 मी² (C) 23 मी² (D) 31 मी²
उत्तर :
पायरी 1: दिलेली मापे नोंदवणे आणि एकके समान करणे (Note given dimensions & convert units)
डब्याची लांबी (l) = 9 मी
रुंदी (b) = 2 मी
उंची (h) = 50 सेमी =
| 50 |
| 100 |
पायरी 2: उघड्या डब्याचे एकूण पृष्ठफळ काढण्याचे सूत्र (Formula for surface area of open box)
झाकणाशिवायच्या डब्याचे एकूण पृष्ठफळ = 2(lb + bh + hl) - lb
| = 2(9 x 2 + 2 x 0.5 + 0.5 x 9) - (9 x 2) |
| = 2(18 + 1 + 4.5) - 18 |
पायरी 3: गणना पूर्ण करणे (Complete the calculation)
| = 2(23.5) - 18 |
| = 47 - 18 |
| = 29 मी2 |
अंतिम उत्तर: पर्याय (A) 29 मी2
प्र. 6. एका हॉलची मापे
24 मी x 20 मी अशी आहेत. 0.4 मी x
0.3 मी मापाच्या
फरश्या जमिनीवर बसवण्यासाठी त्यांची संख्या किती असेल ?
(A) 1500
(B) 4000 (C) 3000 (D) 2500
उत्तर :
पायरी 1: दिलेली मापे नोंदवणे (Note down given dimensions)
हॉलचे माप = 24 मी × 20 मी
आयताकार फरशीचे माप = 0.4 मी × 0.3 मी
पायरी 2: फरश्यांची संख्या काढण्याचे सूत्र (Formula for calculating number of tiles)
| हॉलसाठी लागणाऱ्या फरश्यांची संख्या = |
|
| = |
|
पायरी 3: दशांश चिन्ह काढून संक्षिप्त रूप देणे (Simplify by removing decimals)
| = |
|
| = 8 × 5 × 10 × 10 |
| = 40 × 100 |
| = 4000 |
अंतिम उत्तर: पर्याय (B) 4000
प्र. 7. एका समकोन
(काटकोण) त्रिकोणाच्या दोन बाजूंची लांबी 5 सेमी आणि 12 सेमी असल्यास त्रिकोणाची
परिमिती ............ असेल.
(A) 13 सेमी
(B) 17 सेमी (C) 27 सेमी (D) 30 सेमी
उत्तर :
संकल्पना (Concept):
ज्या ठिकाणी काटकोन त्रिकोण असतो, त्या ठिकाणी पायथागोरसचे प्रमेय (Pythagoras Theorem) वापरले जाते.
पायरी 1: कर्ण काढणे (Find the Hypotenuse)
काटकोन करणाऱ्या बाजू: AB = 12 सेमी, BC = 5 सेमी
पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार:
(कर्ण)2 = (उंची)2 + ( पाया)2
| AC2 = AB2 + BC2 |
| = (12)2 + (5)2 |
| = 144 + 25 |
| AC2 = 169 |
| AC = √169 |
| ∴ AC = 13 सेमी |
पायरी 2: त्रिकोणाची परिमिती काढणे (Calculate Perimeter of the Triangle)
काटकोन त्रिकोणाची परिमिती = AB + BC + AC
| = 12 + 5 + 13 |
| = 30 सेमी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (D) 30 सेमी
प्र. 8. एका हॉलच्या
लांबी आणि रुंदीत 23 मीटरची तफावत आहे. (लांबी > रुंदी). जर हॉलच्या
फरसबंदीची परिमिती 206 मीटर आहे, तर हॉलच्या फरसबंदीचे (Floor) क्षेत्रफळ
(चौमीमध्ये) आहे :
(A) 2420
(B) 2520 (C) 2640 (D) 2760
उत्तर :
पायरी 1: चलांची मांडणी करा (Set up variables)
समजा, हॉलची लांबी = x मी
∴ हॉलची रुंदी = (x - 23) मी
पायरी 2: परिमितीच्या सूत्रावरून लांबी (x) काढा (Calculate length using perimeter formula)
हॉलच्या फरसबंदीची परिमिती = 206 मी
म्हणजेच, हॉलची परिमिती = 206 मी
हॉलची परिमिती = 2 × (लांबी + रुंदी)
| 206 = 2 × [x + (x - 23)] |
|
= 2x - 23 |
| 103 + 23 = 2x |
| 126 = 2x |
| x = |
|
| ∴ x = 63 मी |
पायरी 3: लांबी आणि रुंदीची निश्चित मूल्ये काढा (Find actual length and breadth)
∴ हॉलची लांबी = x = 63 मी
हॉलची रुंदी = x - 23 = 63 - 23 = 40 मी
पायरी 4: हॉलच्या फरसबंदीचे क्षेत्रफळ काढा (Calculate area of the floor)
∴ हॉलच्या फरसबंदीचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
| = 63 × 40 |
| = 2520 चौ. मी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (B) 2520
प्र. 9. 15 मीटर
लांबीच्या एका खोलीतील फरसबंदीसाठी 15 सेमी x 12 सेमी आकाराच्या 7500 टाइल्स
लागतात. खोलीची रुंदी आहे :
(A) 9 मीटर
(B) 10 मीटर (C) 12 मीटर (D) 10.5 मीटर
उत्तर :
पायरी 1: दिलेली मापे नोंदवणे आणि एकके समान करणे (Note given dimensions & convert units)
खोलीची लांबी = 15 मी
आयताकार फरशीचे माप = 15 सेमी × 12 सेमी =
| 15 |
| 100 |
| 12 |
| 100 |
पायरी 2: फरश्यांच्या संख्येचे सूत्र वापरणे (Use formula for number of tiles)
| खोलीसाठी लागणाऱ्या फरश्यांची संख्या = |
|
| 7500 = |
|
पायरी 3: समीकरण सोडवणे आणि रुंदी काढा (Solve the equation for breadth)
| 7500 = |
|
| ∴ रुंदी = |
|
| = 75 × 0.12 |
| ∴ रुंदी = 9.00 = 9 मी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (A) 9 मीटर
प्र. 10. एका हॉलची
लांबी-रुंदी 12 मीटर x 10 मीटर आहे. हॉलला लादी (तक्तपोशी) बसवण्यासाठी 10 सेमी x 8 सेमी आकाराच्या किती लाद्या लागतील ?
(A) 12,000
(B) 15,000 (C) 10,000 (D) 18,000
उत्तर :
पायरी 1: दिलेली मापे नोंदवणे आणि एकके समान करणे (Note given dimensions & convert units)
हॉलचे माप = 12 मी × 10 मी
आयताकार लादीचे माप = 10 सेमी × 8 सेमी =
| 10 |
| 100 |
| 8 |
| 100 |
पायरी 2: लाद्यांच्या संख्येचे सूत्र वापरणे (Use formula for number of tiles)
| हॉलसाठी लागणाऱ्या लाद्यांची संख्या = |
|
| = |
|
पायरी 3: भागाकार करून अंतिम उत्तर काढणे (Simplify and find the final answer)
| = |
|
| = 3 × 100 × 50 |
| ∴ लाद्यांची संख्या = 15,000 |
अंतिम उत्तर: पर्याय (B) 15,000
Video Explanation :
Post a Comment