6 वी नवोदय : अंकगणित - परिमिती व क्षेत्रफळ - स्वाध्याय 10.1
6 वी नवोदय : अंकगणित - परिमिती व क्षेत्रफळ - स्वाध्याय 10.1
इयत्ता 6 वी नवोदय विद्यालय प्रवेश परीक्षेच्या अंकगणित प्रकरण 10, परिमिती व क्षेत्रफळ - स्वाध्याय 10.1, यातील सर्व उदाहरणे या पोस्ट मध्ये सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात खालील विविध पद्धतींवर आधारीत उदाहरणे देण्यात आलेली आहेत.
1) परिमिती आणि क्षेत्रफळ या सहावी नवोदय प्रवेशासाठी घेतल्या जाणाऱ्या परीक्षेचं दहावं प्रकरण आहे, ज्याच्या स्वाध्याय 10.1 मध्ये आपल्याला वेगवेगळ्या गणितीय आकृत्यांची परिमिती व क्षेत्रफळ काढण्यासाठीचे प्रश्न विचारण्यात आलेले आहे.
2) आयताचे क्षेत्रफळ काढण्याचा फॉर्म्युला आहे लांबी गुणिला रुंदी त्यालाच आपण इंग्लिश मध्ये म्हणतो length multiply by breadth.
3) आयताची परिमिती काढण्याचा फॉर्म्युला आहे दोन गुणिला कंसामध्ये लांबी अधिक रुंदी त्यालाच आपण इंग्लिश मध्ये म्हणतो 2 multiply by into bracket length plus breadth.
4) चौरसाची परिमिती काढण्याचा फॉर्म्युला आहे चार गुणिला बाजू म्हणजेच 4 multiply by side.
5) चौरसाचे क्षेत्रफळ काढण्याचा फॉर्म्युला आहे बाजूचा वर्ग म्हणजेच side चा square.
6) जर का एखाद्या प्रश्नामध्ये आपल्याला एखाद्या जागेभोवती कुंपण घालायला सांगितलेलं असेल किंवा एखाद्या ताराला वाकवून त्याच्यापासनं एखादी गणितीय आकृती तयार केलेली असेल तर त्या प्रश्नांमध्ये कुंपण घालणे किंवा तार वाकवून गणिती आकृती तयार करणे म्हणजेच त्या गणिती आकृतीची परिमिती काढणे असते.
7) जर का एकच चक्कर सांगितला असेल किंवा एकच फेरी कुंपणाची सांगितली असेल किंवा एकच पदरी कुंपण सांगितलं असेल तर परिमिती फक्त एकदाच घ्यावी जर का दोन फेऱ्या किंवा दोन पदरी कुंपण किंवा तीन फेऱ्या किंवा तीन पदरी कुंपण असे प्रश्न विचारले गेलेले असतील तर परिमितीला दोनने किंवा तीनने गुणावे.
8) तसेच काही प्रश्नांमध्ये एखादा भूखंड दिलेला असेल त्या भूखंडाची लांबी आणि रुंदी दिलेली असेल आणि त्या भूखंडाला तारेचं कुंपण घालण्यासाठी प्रति मीटर लागणारा खर्च दिलेला असेल त्यावरनं त्या भूखंडाभोवती ते कुंपण घालण्यासाठी लागणारा एकूण खर्च काढण्यासाठी सुद्धा विचारण्यात आलेलं आहे.
9) या स्वाध्यायातील काही प्रश्नांमध्ये काटकोन चौकोन म्हणून सुद्धा एका गणिती आकृतीला संबोधण्यात आलेले आहे. काटकोन चौकोन म्हणजेच आयत आणि काटकोन चौकोनाला आयताचे सगळे फॉर्म्युले लागतील.
10) परिमिती म्हणजेच ज्याला इंग्लिश मध्ये आपण म्हणतो perimeter आणि क्षेत्रफळ म्हणजेच त्याला आपण इंग्लिश मध्ये म्हणतो area.
11) काही प्रश्नांमध्ये आपल्याला वेगवेगळ्या गणितीय आकृत्या दिलेल्या आहेत आणि त्या आकृत्यांची परिमिती म्हणजेच perimeter काढायला सांगितलेली आहे.
12) एका प्रश्नामध्ये एक आकृती दिलेली आहे आणि त्या आकृतीचं एकूण क्षेत्रफळ काढायला सांगितलं आहे. या आकृतीमध्ये एक चौरस आणि दोन त्रिकोण दिलेले आहेत तर चौरसाचं क्षेत्रफळ काढून आणि दोन्ही त्रिकोणांचं क्षेत्रफळ काढून त्यांची बेरीज करून आपल्याला पूर्ण आकृतीचं एकूण क्षेत्रफळ काढायचं आहे.
13) अशा पद्धतीचे या स्वाध्यायामध्ये 12 वेगवेगळे प्रश्न देण्यात आलेले आहेत.
प्र. 1. 70
मीटर बाजू असलेल्या चौरसाभोवती मिताली धावते आणि 80 मीटर लांबी व 50 मीटर रुंदी
असलेल्या काटकोन चौकोनाभोवती नूरी धावते. दोन फेऱ्यांमध्ये मिताली आणि नूरी यांनी
कापलेल्या अंतरांत किती फरक असेल ?
(A) 80 मीटर (B) 20 मीटर (C) 40 मीटर (D) 60 मीटर
उत्तर :
संकल्पना (Concept):
मिताली आणि नूरी यांनी एका फेरीत धावलेले अंतर काढणे म्हणजे अनुक्रमे चौरस व आयताची परिमिती (Perimeter) काढणे होय.
पायरी 1: मितालीने 2 फेऱ्यांमध्ये धावलेले अंतर काढा (Calculate distance covered by Mitali in 2 rounds)
चौरसाची बाजू = 70 मी
मितालीने 2 फेऱ्यांमध्ये धावलेले अंतर = 2 × (चौरसाची परिमिती)
| = 2 × 4 × बाजू |
| = 8 × 70 |
| = 560 मी |
पायरी 2: नूरीने 2 फेऱ्यांमध्ये धावलेले अंतर काढा (Calculate distance covered by Noori in 2 rounds)
आयताची लांबी = 80 मी, रुंदी = 50 मी
नूरीने 2 फेऱ्यांमध्ये धावलेले अंतर = 2 × [2 × (लांबी + रुंदी)]
| = 2 × 2 × (80 + 50) |
| = 4 × 130 |
| = 520 मी |
पायरी 3: अंतरातील फरक काढा (Find the difference in distance)
अंतरातील फरक = 560 - 520
| = 40 मी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (C) 40 मीटर
प्र. 2. एका चौरसाकार
भूखंडाच्या बाजूची लांबी 60 मी आहे. या भूखंडाला तीनपदरी तारेचे कुंपण घालण्यासाठी
प्रतिमीटर ₹ 25 दराने किती खर्च होईल ?
(A) ₹ 25,000
(B) ₹ 18,000 (C) ₹ 20,000 (D) ₹ 16,000
उत्तर :
संकल्पना (Concept):
चौरसाकार भूखंडाच्या भोवती तारेचे कुंपण घालण्यासाठी लागणाऱ्या तारेची लांबी काढणे म्हणजेच त्या चौरसाची परिमिती (Perimeter) काढणे होय.
पायरी 1: चौरसाची परिमिती काढा (Find Perimeter of Square)
चौरसाची बाजू = 60 मी
चौरसाची परिमिती = 4 × बाजू
| = 4 × 60 |
| = 240 मी |
पायरी 2: तीनपदरी कुंपणासाठी लागणाऱ्या तारेची लांबी काढा (Find length of wire needed for 3 layers)
तारेची एकूण लांबी = 3 × चौरसाची परिमिती
| = 3 × 240 |
| = 720 मी |
पायरी 3: तीनपदरी कुंपणाचा एकूण खर्च काढा (Calculate Total Cost)
कुंपणाचा दर = ₹ 25 प्रतिमीटर
एकूण खर्च = तारेची लांबी × दर
| = 720 × 25 |
| = ₹ 18,000 |
अंतिम उत्तर: पर्याय (B) ₹ 18,000
प्र. 3. एका काटकोन
चौकोनाची परिमिती 60 सेमी आहे. त्या काटकोन चौकोनाचे क्षेत्रफळ 200 सेमी² आहे,
तर त्याची
लांबी व रुंदी (सेमीमध्ये) काढा.
(A) 11, 19
(B) 25, 5 (C) 16, 14 (D) 20, 10
उत्तर :
पायरी 1: लांबी व रुंदी मानून समीकरण तयार करा (Set up equations)
धरा, काटकोन चौकोनाची (आयताची) लांबी = x सेमी आणि रुंदी = y सेमी
परिमिती = 2 (लांबी + रुंदी)
| 60 = 2 (x + y) |
| 60 / 2 = x + y |
| ∴ x + y = 30 (बेरीज 30 असली पाहिजे) |
क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
| ∴ x × y = 200 (गुणाकार 200 असला पाहिजे) |
पायरी 2: पर्यायांवरून उत्तरे शोधा (Check options)
आपल्याला अशा दोन संख्या शोधायच्या आहेत ज्यांची बेरीज 30 आणि गुणाकार 200 असेल.
| 20 + 10 = 30 |
| 20 × 10 = 200 |
∴ लांबी = 20 सेमी आणि रुंदी = 10 सेमी
अंतिम उत्तर: पर्याय (D) 20, 10
प्र. 4. ज्याची परिमिती
48 मी आहे अशा चौरसाचे क्षेत्रफळ आहे —
(A) 48 मी²
(B) 144
मी² (C) 576 मी² (D) 324 मी²
उत्तर :
पायरी 1: चौरसाची बाजू काढा (Find the side of the square)
चौरसाची परिमिती = 48 मी
4 × बाजू = 48
| बाजू = 48 / 4 |
| ∴ बाजू = 12 मी |
पायरी 2: चौरसाचे क्षेत्रफळ काढा (Calculate Area of Square)
चौरसाचे क्षेत्रफळ = (बाजू)2
| = (12)2 |
| = 12 × 12 |
| = 144 मी2 |
अंतिम उत्तर: पर्याय (B) 144 मी2
प्र. 5. एक चौरस व एक
आयत यांची परिमिती समान आहे. चौरसाच्या बाजूची लांबी 16 मी आहे आणि आयताची लांबी
18 मी आहे, त्या आयताची रुंदी असेल :
(A) 15 मी
(B) 14 मी (C) 16 मी (D) 17 मी
उत्तर :
पायरी 1: चौरसाची परिमिती = आयताची परिमिती सूत्र मांडणे (Set up the equation)
चौरसाची बाजू = 16 मी, आयताची लांबी = 18 मी
चौरसाची परिमिती = आयताची परिमिती
| 4 × बाजू = 2 × (लांबी + रुंदी) |
| 4 × 16 = 2 × (18 + रुंदी) |
| 64 = 2 × (18 + रुंदी) |
पायरी 2: आयताची रुंदी काढा (Calculate the width of rectangle)
| 64 / 2 = 18 + रुंदी |
| 32 = 18 + रुंदी |
| रुंदी = 32 - 18 |
| ∴ रुंदी = 14 मी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (B) 14 मी
प्र. 6. चौरसाची
परिमिती जर त्याच्या क्षेत्रफळाइतकी असेल, तर त्याची बाजू किती हवी ?
(A) 6 सेमी
(B) 2 सेमी (C) 4 सेमी (D) 8 सेमी
उत्तर :
पायरी 1: दिलेल्या अटीनुसार समीकरण मांडणे (Set up the equation)
प्रश्नानुसार: चौरसाची परिमिती = चौरसाचे क्षेत्रफळ
4 × बाजू = (बाजू)2
| 4 × बाजू = बाजू × बाजू |
पायरी 2: बाजूची लांबी काढा (Calculate the side)
दोन्ही बाजूंकडून 'बाजू' ने भागल्यास:
| 4 = बाजू |
| ∴ बाजू = 4 सेमी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (C) 4 सेमी
प्र. 7. एका आयताकृती
जमिनीची लांबी तिच्या रुंदीच्या दुप्पट आहे. 8 मी बाजू असलेल्या चौरसाकृती
पोहण्याच्या तलावाने त्या भूखंडाचा एक-अष्टमांश भाग व्यापला आहे, तर त्या
भूखंडाची लांबी किती आहे ?
(A) 64 मी
(B) 32 मी (C) 16 मी (D) 12 मी
उत्तर :
पायरी 1: आयताकृती जमिनीचे क्षेत्रफळ माना (Set up area equation)
धरा, आयताकृती जमिनीची रुंदी = x मी
लांबी रुंदीच्या दुप्पट आहे, म्हणून लांबी = 2x मी
आयताकृती जमिनीचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
| = 2x × x |
| = 2x2 मी2 |
पायरी 2: चौरसाकृती तलावाचे क्षेत्रफळ काढा (Calculate area of square pond)
तलावाची बाजू = 8 मी
तलावाचे क्षेत्रफळ = (बाजू)2 = (8)2 = 64 मी2
प्रश्नानुसार, तलावाचे क्षेत्रफळ हे जमिनीच्या क्षेत्रफळाच्या 1/8 भाग आहे:
तलावाचे क्षेत्रफळ = (1/8) × आयताचे क्षेत्रफळ
| 64 = (1/8) × 2x2 |
| 64 = x2 / 4 |
पायरी 3: रुंदी (x) आणि लांबी (2x) काढा (Calculate width and length)
| x2 = 64 × 4 |
| x2 = 256 |
| x = √256 = 16 मी (रुंदी) |
∴ आयताकृती भूखंडाची लांबी = 2 × रुंदी
| = 2 × 16 |
| = 32 मी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (B) 32 मी
प्र. 8. एका आयताची
लांबी 6 सेमी आहे आणि त्याची परिमिती 16 सेमी आहे. आयताचे क्षेत्रफळ (चौसेमीमध्ये)
आहे —
(A) 96
(B) 60 (C) 48 (D) 12
उत्तर :
पायरी 1: आयताची रुंदी काढा (Find the width of the rectangle)
आयताची लांबी = 6 सेमी, परिमिती = 16 सेमी
समजा, आयताची रुंदी = x सेमी
आयताची परिमिती = 2 × (लांबी + रुंदी)
| 16 = 2 × (6 + x) |
| 16 / 2 = 6 + x |
| 8 = 6 + x |
| x = 8 - 6 |
| ∴ आयताची रुंदी = 2 सेमी |
पायरी 2: आयताचे क्षेत्रफळ काढा (Calculate Area of Rectangle)
आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
| = 6 × 2 |
| = 12 चौ. सेमी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (D) 12
प्र. 9. तार वाकवून एक
आयत केला आहे. या आयताची लांबी आणि रुंदी अनुक्रमे 50 सेमी आणि 25 सेमी आहे.
तारेची एकूण लांबी आहे —
(A) 75 सेमी
(B) 100
सेमी (C) 150 सेमी (D) 200 सेमी
उत्तर :
संकल्पना (Concept):
तार वाकवून तयार केलेल्या आयताची एकूण लांबी म्हणजेच त्या आयताची परिमिती (Perimeter) होय.
पायरी 1: तारेची एकूण लांबी काढा (Calculate Total Length of Wire)
आयताची लांबी = 50 सेमी, रुंदी = 25 सेमी
तारेची एकूण लांबी = आयताची परिमिती
| = 2 × (लांबी + रुंदी) |
| = 2 × (50 + 25) |
| = 2 × 75 |
| = 150 सेमी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (C) 150 सेमी
प्र. 10. एका चौरसाचे
क्षेत्रफळ 100 चौमी आहे, तर त्याची परिमिती किती आहे ?
(A) 40 मी
(B) 100
मी (C) 140 मी (D) 400 मी
उत्तर :
पायरी 1: चौरसाची बाजू काढा (Find the side of the square)
चौरसाचे क्षेत्रफळ = 100 चौ.मी.
चौरसाचे क्षेत्रफळ = (बाजू)2
| 100 = (बाजू)2 |
| बाजू = √100 |
| ∴ चौरसाची बाजू = 10 मी |
पायरी 2: चौरसाची परिमिती काढा (Calculate Perimeter of Square)
चौरसाची परिमिती = 4 × बाजू
| = 4 × 10 |
| = 40 मी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (A) 40 मी
प्र. 11. पुढील
आकृतीमध्ये जाजमाची परिमिती किती ?
(A) 16 मी
(B) 16 मी² (C) 11 मी² (D) 11 मी
उत्तर :
संकल्पना (Concept):
कोणत्याही बंदिस्त आकृतीची परिमिती (Perimeter) म्हणजे तिच्या सर्व बाह्य बाजूंच्या लांबींची बेरीज होय.
पायरी 1: सर्व बाजूंची लांबी नोंदवा (Identify the length of all sides)
आकृतीनुसार बाह्य बाजूंच्या लांबी खालीलप्रमाणे आहेत:
- AB = 3 मी
- BC = 2 मी
- CD = 2 मी
- DE = 1 मी
- EF = 5 मी
- FG = 1 मी
- GA = 2 मी
पायरी 2: जाजमाची परिमिती काढा (Calculate Perimeter of the Carpet)
आकृतीमधील जाजमाची परिमिती = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA
| = 3 + 2 + 2 + 1 + 5 + 1 + 2 |
| = 16 मी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (A) 16 मी
प्र. 12. सोबतच्या
आकृतीचे क्षेत्रफळ आहे —
(A) 144 चौसेमी
(B) 168
चौसेमी (C) 192 चौसेमी (D) 236 चौसेमी
उत्तर :
संकल्पना (Concept):
सोबतच्या आकृतीमध्ये एक चौरस आणि दोन काटकोन त्रिकोण दिलेले आहेत. संपूर्ण आकृतीचे एकूण क्षेत्रफळ म्हणजेच चौरसाचे क्षेत्रफळ आणि दोन्ही त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज होय.
पायरी 1: चौरसाचे क्षेत्रफळ काढा (Calculate Area of Square)
चौरसाची बाजू = 12 सेमी
चौरसाचे क्षेत्रफळ = (बाजू)2
| = (12)2 |
| = 12 × 12 |
| = 144 चौ. सेमी |
पायरी 2: दोन्ही त्रिकोणांचे एकूण क्षेत्रफळ काढा (Calculate Area of Both Triangles)
दोन्ही त्रिकोणांची मापे समान आहेत (प पाया = 4 सेमी, उंची = 12 सेमी).
दोन्ही त्रिकोणांचे एकूण क्षेत्रफळ = 2 × (1/2 × पाया × उंची)
| = 2 × (1/2 × 4 × 12) |
| = 4 × 12 |
| = 48 चौ. सेमी |
पायरी 3: आकृतीचे एकूण क्षेत्रफळ काढा (Calculate Total Area)
आकृतीचे एकूण क्षेत्रफळ = चौरसाचे क्षेत्रफळ + दोन्ही त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ
| = 144 + 48 |
| = 192 चौ. सेमी |
अंतिम उत्तर: पर्याय (C) 192 चौसेमी
Video Explanation :
Post a Comment