6 वी नवोदय : अंकगणित - कोनांचे प्रकार व त्यांचे उपयोजन - स्वाध्याय 11

                                 इयत्ता 6 वी नवोदय विद्यालय प्रवेश परीक्षेच्या अंकगणित प्रकरण 11, कोनांचे प्रकार व त्यांचे उपयोजन - स्वाध्याय 11, यातील सर्व उदाहरणे या पोस्ट मध्ये सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात खालील विविध पद्धतींवर आधारीत उदाहरणे देण्यात आलेली आहेत. 

1) स्वाध्याय 11 मध्ये पहिला प्रश्न विचारलेला आहे, सरळ कोनाचे माप किती असते? सरळ कोन ज्याला आपण english मध्ये म्हणतो straight angle, तो असतो 180 degrees चा.

2) दुसऱ्या प्रश्नामध्ये आपल्याला आकृत्या दिलेल्या आहेत आणि कोणत्या आकृतीमध्ये प्रविशाल कोन दाखवला आहे ते ओळखायला सांगितलेलं आहे. प्रविशाल कोन ज्याला आपण english मध्ये reflex angle म्हणतो, हा असा angle असतो ज्याचं माप 180 degree पेक्षा मोठं असते पण 360 degree पेक्षा लहान असते. या दिलेल्या पर्यायांमधील C आकृतीमध्ये आपल्याला प्रविशाल कोन दिलेला आहे.

3) तिसरा प्रश्न विचारला आहे, दोन कोन कोणामुळे तयार होतात? सामायिक बिंदू असणारे दोन रेषाखंड जेव्हा एकमेकांना छेदतात तेव्हा त्यांच्यामुळे कोन तयार होतात.

4) चौथा प्रश्न आहे, कात्रीच्या जोडलेल्या पात्यांमध्ये कोणता कोन तयार होणार नाही? मग कात्रीच्या जोडलेल्या पात्यांमध्ये लघुकोन तयार होतो, म्हणजेच 90 अंशापेक्षा लहान कोन तयार होतो; काटकोन तयार होतो, म्हणजेच 90 अंशाचा कोन सुद्धा तयार होतो; विशालकोन तयार होतो, म्हणजेच 90 अंशापेक्षा मोठा कोन सुद्धा तयार होतो; आणि प्रविशाल कोन म्हणजेच 180 पेक्षा जास्त आणि 360 degree पेक्षा कमी कोन हा तयार होत नाही. म्हणून या प्रश्नाचं अचूक उत्तर आहे, प्रविशाल कोन हा कात्रीच्या दोन जोडलेल्या पात्यांमध्ये तयार होत नाही.

5) पाचव्या प्रश्नामध्ये विचारलं आहे, घड्याळाच्या दोन काट्यांमध्ये काटकोन कोणत्या आकृतीमध्ये तयार झालेला आहे? चार आकृत्या दिल्या आहेत आपल्याला आणि विचारलंय की कोणत्या घड्याळामध्ये काटकोन तयार होत आहे. मग, option A मध्ये दिलेल्या आकृतीमध्ये 3 वाजलेले आहेत, म्हणजेच तास काटा 3 वर आणि मिनिट काटा 12 वरती आहे, म्हणजे या दोन्ही काट्यांमध्ये 90 अंशाचा कोन म्हणजेच काटकोन तयार झालेला आहे.

6) सहाव्या प्रश्नामध्ये विचारलेलं आहे, मध्यान्होत्तर म्हणजे दुपारचे 3 वाजून 45 मिनिटे झालेली असताना घड्याळाच्या मिनिट काट्यामध्ये आणि तास काट्यामध्ये किती angle तयार होईल? मग दुपारचे 3 वाजून 45 मिनिटे झालेली असतील तेव्हा मिनिट काटा बरोबर 9 वरती आलेला असेल आणि तास काटा 3 आणि 4 च्या मध्ये असेल, 4 च्या जवळ असेल. अशा वेळी या दोघांमध्ये जो कोन तयार झालेला असेल तो विशाल कोन असेल म्हणजेच 90 अंशापेक्षा मोठा आणि 180 अंशापेक्षा लहान असेल.

7) सातव्या प्रश्नामध्ये विचारलं आहे, वेगवेगळे उदाहरणं दिलेले आहेत चार option मध्ये आणि विचारलेलं आहे की कुणामध्ये कोनाचा वापर केला जात नाही किंवा उपयोग केला जात नाही? मग सागराची खोली मोजण्यासाठी कोनाचा उपयोग केला जात नाही, हे b मध्ये दिलेलं उत्तर बरोबर आहे आणि b हे उत्तर बरोबर आहे असं C option मध्ये दिलेलं आहे म्हणून योग्य उत्तर याचं C option आहे.

8) आठव्या प्रश्नामध्ये पूर्ण कोनाचे माप विचारलेले आहे. पूर्ण कोनाचे माप म्हणजेच complete angle चं माप असते 360 degree.

9) नवव्या प्रश्नात एक आकृती दिलेली आहे आणि त्या आकृतीमध्ये तयार होणाऱ्या कोनांची संख्या आपल्याला विचारलेली आहे. त्या आकृतीमध्ये 6 कोन तयार होतात, म्हणजे option D correct answer आहे.

10) दहाव्या प्रश्नामध्ये एक चौकोन दिलेला आहे आणि चौकोनामध्ये किती कोन तयार होत आहेत हे विचारलेले आहेत. जो चौकोन दिलेला आहे त्या चौकोनामध्ये एकूण 8 कोन तयार होतात. option D हे आपलं योग्य उत्तर आहे.

11) अशा पद्धतीने या स्वाध्यायमध्ये 10 प्रश्न विचारण्यात आलेले आहेत.

प्र. 1.  पुढीलपैकी सरळकोनाचे माप कोणते आहे ?

(A) 360 degrees           (B) 180 degrees

(C) 270 degrees           (D) 145 degrees

उत्तर :

संकल्पना (Concept):

सरळ रेषा तयार करणाऱ्या कोनाला सरळकोण (Straight Angle) म्हणतात.

पायरी 1: सरळकोनाचे गुणधर्म (Properties of a Straight Angle)

सरळकोनाचे (Straight angle) माप 180° असते.

अंतिम उत्तर: पर्याय (B) 180 degrees

प्र. 2.   पुढीलपैकी कोणती आकृती प्रविशाल कोन दर्शवते ?

उत्तर :

संकल्पना (Concept):

प्रविशाल कोण (Reflex Angle) ची व्याख्या आणि गुणधर्म.

पायरी 1: प्रविशाल कोनाचे गुणधर्म (Properties of Reflex Angle)

प्रविशाल कोण (Reflex angle) चे माप 180° पेक्षा जास्त आणि 360° पेक्षा कमी असते.

पायरी 2: पर्यायांचे निरीक्षण (Observation of Options)

• आकृती (A): लघुकोन (< 90°)
• आकृती (B): विशालकोन (> 90° आणि < 180°)
• आकृती (C): प्रविशाल कोन (> 180° आणि < 360°)
• आकृती (D): काटकोन (= 90°)

अंतिम उत्तर: पर्याय (C)

 

प्र. 3.    ............ कोन तयार करतात.

(A)    दोन रेषा                          (B) दोन रेषाखंड

(C) दोन किरण                         (D) सामाईक बिंदू असणारे दोन रेषाखंड

उत्तर :

संकल्पना (Concept):

कोनाची (Angle) निर्मिती आणि त्याची मूलभूत व्याख्या.

पायरी 1: कोनाची व्याख्या (Definition of Angle)

जेव्हा दोन रेषाखंड किंवा दोन किरण एकाच अंत्यबिंदूमध्ये (सामाईक बिंदू) छेदतात, तेव्हा त्यांच्यामध्ये कोन (Angle) तयार होतो.

पायरी 2: पर्यायांचे निरीक्षण (Observation of Options)

सामाईक बिंदू असणारे दोन रेषाखंड (किंवा सामाईक अंत्यबिंदू असणारे दोन किरण) एकत्र आल्यावर कोन तयार करतात.

अंतिम उत्तर: पर्याय (D) सामाईक बिंदू असणारे दोन रेषाखंड

 

प्र. 4.   कात्रीच्या जोडलेल्या पात्यांमध्ये पुढीलपैकी कोणता कोन तयार होणार नाही ?

(A) प्रविशाल कोन   (B) लघुकोन   (C) काटकोन   (D) विशालकोन

उत्तर :

संकल्पना (Concept):

कात्रीच्या दोन पात्यांच्या हालचालीमुळे तयार होणारे विविध कोन.

पायरी 1: कात्रीच्या पात्यांमध्ये तयार होणारे कोन (Angles formed between scissor blades)

कात्री उघडताना किंवा बंद करताना पात्यांच्या दरम्यान खालील कोन तयार होऊ शकतात:
1) लघुकोन (< 90°)
2) काटकोन (= 90°)
3) विशालकोन (> 90°)

पायरी 2: कोणता कोन तयार होणार नाही? (Which angle cannot be formed?)

प्रविशाल कोण (180° < θ < 360°) हा कात्रीच्या जोडलेल्या पात्यांच्या आतल्या बाजूने तयार होत नाही.

अंतिम उत्तर: पर्याय (A) प्रविशाल कोन

अजून वाचून पहा : 6 वी नवोदय : अंकगणित - परिमिती व क्षेत्रफळ  - स्वाध्याय 10.1

प्र. 5.  पुढीलपैकी कोणत्या घड्याळाच्या दोन काट्यांमध्ये काटकोन झाला आहे ?

उत्तर :

संकल्पना (Concept):

घड्याळाच्या काट्यांमध्ये काटकोन (Right Angle = 90°) कधी तयार होतो याचे निरीक्षण करणे.

पायरी 1: पर्यायांमधील घड्याळांच्या वेळांचे निरीक्षण (Observation of Clock Times)

• पर्याय (A): घड्याळात 3 वाजलेले आहेत. तास काटा (Hour hand) 3 वर आणि मिनिट काटा (Minute hand) 12 वर आहे.
• पर्याय (B): घड्याळात 6:15 वाजलेले आहेत (विशालकोन/लघुकोन).
• पर्याय (C): घड्याळात 10:00 वाजलेले आहेत (लघुकोन).
• पर्याय (D): घड्याळात 6:00 वाजलेले आहेत (सरळकोन = 180°).

पायरी 2: काटकोनाची पडताळणी (Verification of Right Angle)

पर्याय (A) मध्ये 3 वाजलेले असल्यामुळे तास काटा आणि मिनिट काटा यांच्यामध्ये 90° चा कोन म्हणजेच काटकोन तयार झाला आहे.

अंतिम उत्तर: पर्याय (A)

 

प्र. 6.  मध्यान्होत्तर 3:45 वाजता (3:45 pm) घड्याळाच्या मिनिट व तास काट्यांमध्ये कोणता कोन तयार होतो ?

(A) लघुकोन   (B) सरळकोन   (C) विशालकोन   (D) प्रविशाल कोन

उत्तर :

संकल्पना (Concept):

घड्याळात 3:45 वाजता (3:45 pm) तास काटा आणि मिनिट काटा यांच्यामध्ये तयार होणारा कोन ओळखणे.

पायरी 1: काट्यांची स्थिती पाहणे (Position of Hands at 3:45)

• मिनिट काटा (Minute hand): बरोबर 9 वर असतो.
• तास काटा (Hour hand): 3 आणि 4 च्या मध्ये (4 च्या जवळ) असतो.

पायरी 2: कोनाचे स्वरूप ठरवणे (Determining the Angle)

9 वरून 3 पर्यंत सरळ रेषा धरल्यास 180° चा कोण होतो, परंतु तास काटा 3 च्या पुढे गेल्यामुळे त्यांच्यातील कोन 90° पेक्षा मोठा आणि 180° पेक्षा लहान राहतो.
• 90° पेक्षा मोठ्या कोनाला विशालकोन (Obtuse Angle) म्हणतात.

अंतिम उत्तर: पर्याय (C) विशालकोन

प्र. 7.  पुढीलपैकी कशामध्ये कोनाचा उपयोग केला जात नाही ?

(a) दोन रेषाखंडांमधील वळणाचे प्रमाण            (b) सागराची खोली मोजणे

(c) इमारतीचे मोजमाप                                    (d) क्रीडा स्पर्धा

(A) (a) व (c)                            (B) (a) व (d)

(C) फक्त (b)                            (D) फक्त (d)

उत्तर :

संकल्पना (Concept):

व्यवहारात कोनाचा (Angle) होणारा उपयोग व निरिक्षण.

पायरी 1: विधानांचे विश्लेषण (Analysis of Statements)

• (a) दोन रेषाखंडांमधील वळणाचे प्रमाण: यामध्ये कोनाचा वापर होतो.
• (b) सागराची खोली मोजणे: सागराची खोली मोजण्यासाठी रेषीय अंतर/उंचीची एकके वापरली जातात, येथे कोनाचा उपयोग केला जात नाही.
• (c) इमारतीचे मोजमाप: बांधकाम व मोजमापात कोनाचा (काटकोन इत्यादी) वापर होतो.
• (d) क्रीडा स्पर्धा: मैदानाची आखणी, थ्रो (भालाफेक, गोळाफेक) इत्यादींमध्ये कोनाचा वापर होतो.

पायरी 2: अचूक पर्याय निवडणे (Selecting the Correct Option)

दिलेल्या पर्यायांमधून फक्त (b) म्हणजेच सागराची खोली मोजणे यामध्ये कोनाचा उपयोग केला जात नाही.

अंतिम उत्तर: पर्याय (C) फक्त (b)

प्र. 8.  पूर्णकोनाचे माप किती असते ?

(A)    180 degrees     (B) 360 degrees     (C) 0 degrees     (D) 90 degrees 

उत्तर :

संकल्पना (Concept):

पूर्णकोनाची (Complete Angle) व्याख्या आणि त्याचे माप.

पायरी 1: पूर्णकोनाचे गुणधर्म (Properties of Complete Angle)

एका पूर्ण फेरीनंतर मूळ स्थितीत येणाऱ्या कोनाला पूर्णकोण म्हणतात. पूर्णकोण (Complete angle) चे माप 360° असते.

पायरी 2: पर्यायांची तुलना (Comparison of Options)

• (A) 180 degrees: सरळकोन (Straight Angle)
• (B) 360 degrees: पूर्णकोन (Complete Angle)
• (C) 0 degrees: शून्य कोन (Zero Angle)
• (D) 90 degrees: काटकोन (Right Angle)

अंतिम उत्तर: पर्याय (B) 360 degrees

प्र. 9.  सोबतच्या आकृतीतील कोनांची संख्या आहे :

(A) 4   (B) 8   (C) 7   (D) 6

उत्तर :

संकल्पना (Concept):

एकाच शिरोबिंदूपासून (Vertex) निघालेल्या अनेक किरणांमुळे तयार होणाऱ्या कोनांची एकूण संख्या मोजणे.

पायरी 1: लहान भाग (कोन) मोजणे (Count smaller angle parts)

आकृतीत एकाच शिरोबिंदू A पासून 4 किरण (AB, AC, AD, AE) निघाले आहेत.
त्यामुळे लगतचे 3 लहान भाग (कोन) तयार होतात:
• 1. ∠BAC
• 2. ∠CAD
• 3. ∠DAE

पायरी 2: एकूण कोनांची संख्या काढणे (Formula / Calculation)

एकूण कोनांची संख्या = लहान भागांच्या क्रमांकांची बेरीज
= 1 + 2 + 3 = 6

(कोन मोजणी: ∠BAC, ∠CAD, ∠DAE [3 लहान कोन] + ∠BAD, ∠CAE [2 मध्यम कोन] + ∠BAE [1 मोठा कोन] = 6 कोन)

अंतिम उत्तर: पर्याय (D) 6

प्र. 10.  सोबतच्या चौकोनात किती कोन तयार झाले आहेत ?

(A) 6    (B) 4    (C) 9    (D) 8

उत्तर :

संकल्पना (Concept):

चौकोनात कर्ण (Diagonal) काढल्यामुळे तयार होणाऱ्या कोनांची एकूण संख्या मोजणे.

पायरी 1: आकृतीतील कोनांची मोजणी (Counting Angles in Figure)

आकृतीमध्ये दर्शविल्याप्रमाणे कोनांची विभागणी खालीलप्रमाणे आहे:
• कर्णामुळे विभाजित झालेले लहान कोन: कोन 1, 2, 5, 6 (4 कोन)
• चौकोनाचे मूळ (अखंड) शिरोबिंदू कोन: कोन 4, 8 (2 कोन)
• विभाजित शिरोबिंदूंवरील पूर्ण कोन: कोन 3, 7 (2 कोन)

पायरी 2: एकूण कोनांची बेरीज (Total Number of Angles)

आकृतीत 1 ते 8 क्रमांकांनी दर्शविल्याप्रमाणे एकूण 8 कोन तयार झाले आहेत.

अंतिम उत्तर: पर्याय (D) 8

Video Explanation :