6 वी नवोदय : अंकगणित - अवयव व गुणक आणि त्यांचे गुणधर्म - स्वाध्याय 3.1

 

6 वी नवोदय : अंकगणित - अवयव व गुणक आणि त्यांचे गुणधर्म - स्वाध्याय 3.1 

                  इयत्ता 6 वी नवोदय विद्यालय प्रवेश परीक्षेच्या अंकगणित प्रकरण 3, अवयव व गुणक आणि त्यांचे गुणधर्म - स्वाध्याय 3.1, यातील सर्व उदाहरणे या पोस्ट मध्ये सोप्या पद्धतीने सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात खालील विविध पद्धतींवर आधारीत उदाहरणे देण्यात आलेली आहेत. 

1) एका उदाहरणांत दिलेल्या संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेचे वर्गमूळ काढ़ायला सांगितले आहे.

2) एखाद्या संख्येचा वर्ग करणे म्हणजे त्याच संख्येला त्याच संख्येने गुणणे. 

    उदा. - 2 चा वर्ग म्हणजेच 2 x 2 = 4     

3) काही उदाहरणांमध्ये दिलेल्या संख्यांचे अवयव काढ़ायला सांगितलं आहे. अवयव काढणे म्हणजे दिलेली संख्या कोणकोणत्या पाढ़्यात येते ते सांगणे. 

4) काही उदाहरणांमध्ये दिलेल्या संख्यांचे मूळ अवयव काढ़ायला सांगितलं आहे. मूळ अवयव काढणे म्हणजे दिलेली संख्या कोणकोणत्या मूळ संख्यांच्या पाढ़्यात येते ते सांगणे. 

5) मूळ संख्या म्हणजेच अशा संख्या ज्या 1 आणि स्वतः चा पाढ़ा सोडून इतर कोणत्याही पाढ़्यात येत नाहीत. 

6) अशी विविध प्रकारची 7 प्रश्न या स्वाध्याय 3.1 मध्ये विचारण्यात आलेली आहेत. 

7) या स्वाध्यायातील सर्व उदाहरणांचे सोप्यात सोप्या पद्धतीने स्पष्टीकरण या ठिकाणी देण्यात आलेले आहे.

प्र. 1. 6 आणि 8 या संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेचे वर्गमूळ पुढीलपैकी कोणते ?

(A) 14      (B) 12      (C) 10       (D) 8

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

दिलेल्या प्रश्नाचे टप्प्याटप्प्याने स्पष्टीकरण खालीलप्रमाणे आहे:

1. संख्यांचे वर्ग काढणे:
   पहिल्या संख्येचा वर्ग: 6² = 36
   दुसऱ्या संख्येचा वर्ग: 8² = 64
2. वर्गांची बेरीज करणे:
   दोन्ही संख्यांच्या वर्गांची बेरीज = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
3. बेरजेचे वर्गमूळ काढणे:
   आता, 100 चे वर्गमूळ काढू:
   √100 = √(10)² = 10

---

उत्तर: 10 (पर्याय C)

प्र. 2. 12 आणि 15 यांचे साधारण अवयव आहेत ?

(A) 1, 3      (B) 1, 3, 15     (C) 1, 12     (D) 1, 2, 4

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

12 आणि 15 चे साधारण (सामाईक) अवयव काढण्याची सविस्तर पायरी खालीलप्रमाणे आहे:

• 12 चे अवयव (Factors of 12):
  12 ही संख्या ज्या संख्यांच्या पाढ्यात येते किंवा ज्या संख्यांनी 12 ला पूर्ण भाग जातो:
  1, 2, 3, 4, 6, 12
• 15 चे अवयव (Factors of 15):
  15 ही संख्या ज्या संख्यांच्या पाढ्यात येते किंवा ज्या संख्यांनी 15 ला पूर्ण भाग जातो:
  1, 3, 5, 15
• साधारण / सामाईक (Common) अवयव:
  दोन्ही संख्यांच्या अवयवांमध्ये सारख्या असणाऱ्या संख्या शोधणे म्हणजेच सामाईक अवयव होय. वर दिलेल्या अवयवांमध्ये 1 आणि 3 या संख्या दोन्हीकडे सामाईक आहेत.
  सामाईक अवयव = 1, 3

उत्तर: 1, 3 (पर्याय A)

अजून वाचून पहा : 6 वी नवोदय : अंकगणित - संख्या आणि संख्या पद्धती - स्वाध्याय 1.3

प्र. 3. एका संख्येचे वर्गमूळ 13 आहे, तर त्या संख्येची दुप्पट होईल –

(A) 338     (B) 26     (C) 169     (D) 52

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

प्रश्नाचे टप्प्याटप्प्याने सविस्तर स्पष्टीकरण खालीलप्रमाणे आहे:

• पायरी 1: ती मूळ संख्या शोधणे
  गणितात दिल्याप्रमाणे एका संख्येचे वर्गमूळ 13 आहे. याचा अर्थ ती मूळ संख्या 13 चा वर्ग असेल.
  ती संख्या = (13)² = 13 × 13 = 169
• पायरी 2: त्या संख्येची दुप्पट करणे
  आता आपल्याला मिळालेल्या संख्येची (169 ची) दुप्पट करायची आहे.
  169 ची दुप्पट = 169 × 2 = 338

उत्तर: 338 (पर्याय A)

 

प्र. 4. पुढील प्रश्नसंचाचे निरीक्षण करून उत्तर द्या :

(2 X 2) - (1 X 1) = 2 + 1 = 3;            (3 X 3) - (2 X 2) = 3 + 2 = 5;

(4 X 4) - (3 X 3) = 4 + 3 = 7;            (5 X 5) - (4 X 4) = 5 + 4 = 9

तर, (73 X 73) - (72 X 72) = किती ?

(A) 1045    (B) 1    (C) 145    (D) 2

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

दिलेल्या प्रश्नसंचाचे निरीक्षण केल्यास आपल्याला एक विशिष्ट पॅटर्न (पद्धत) दिसून येते:

• (2 × 2) - (1 × 1) = 2 + 1 = 3
• (3 × 3) - (2 × 2) = 3 + 2 = 5
• (4 × 4) - (3 × 3) = 4 + 3 = 7
• (5 × 5) - (4 × 4) = 5 + 4 = 9

नियम / सूत्र: दोन लागोपाठ येणाऱ्या संख्यांच्या वर्गांची वजाबाकी ही त्या दोन संख्यांच्या बेरजेइतकीच असते.
मंजेच, (n × n) - ((n-1) × (n-1)) = n + (n-1)

त्याच पद्धतीने खालील समीकरण सोडवू:
(73 × 73) - (72 × 72) = 73 + 72 = 145

उत्तर: 145 (पर्याय C)

प्र. 5. 254016 या संख्येला पुढीलपैकी मूळ अवयवांच्या कोणत्या गटाने पूर्ण भाग जात नाही ?

(A) 2 X 2 X 3    (B) 2 X 3 X 3    (C) 2 X 2 X 2    (D) 2 X 3 X 5

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

254016 या संख्येचे मूळ अवयव (Prime Factors) पाडल्यास आपल्याला खालीलप्रमाणे रचना मिळते:

254016 = 2⁶ × 3⁴ × 7²
254016 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 7 × 7

पर्यायांचे निरीक्षण करूया:

• पर्याय (A), (B) आणि (C): या पर्यायांमध्ये दिलेले सर्व अवयव (जसे की 2 आणि 3) हे 254016 च्या मूळ अवयवांच्या गटात पुरेशा प्रमाणात उपलब्ध आहेत. त्यामुळे या तिन्ही पर्यायांनी 254016 ला पूर्ण भाग जाईल.
• पर्याय (D) [2 × 3 × 5]: या गटामध्ये '5' हा अंक आलेला आहे. परंतु, 254016 च्या कोणत्याही अवयवांमध्ये 5 हा अंक येत नाही. त्यामुळे या गटाने संख्येला पूर्ण भाग जाणार नाही.

उत्तर: पर्याय (D) 2 × 3 × 5

 

प्र. 6. 4 अंकांची लहानांत लहान संख्या असेल, जेव्हा मूळ संख्येचा गुणाकार म्हणून दाखवण्यात येईल :

(A)    5 X 5 X 5 X 8                               (B) 5 X 5 X 5 X 4 X 2 

     (C) 5 X 5 X 5 X 2 X 2 X 2                     (D) 5 X 5 X 5 X 4 X 2

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

प्रश्नाचे टप्प्याटप्प्याने सविस्तर स्पष्टीकरण खालीलप्रमाणे आहे:

• पायरी 1: 4 अंकांची लहानात लहान संख्या ठरवणे
  गणिताच्या नियमानुसार, 4 अंकांची लहानात लहान संख्या = 1000 आहे.
• पायरी 2: संख्येचे मूळ अवयव (Prime Factors) पाडणे
  आता 1000 या संख्येचे मूळ अवयव खालीलप्रमाणे पडतात:
  * 1000 ÷ 2 = 500
  * 500 ÷ 2 = 250
  * 250 ÷ 2 = 125
  * 125 ÷ 5 = 25
  * 25 ÷ 5 = 5
  * 5 ÷ 5 = 1
• पायरी 3: मूळ संख्यांचा गुणाकार मांडणे
  मिळालेले सर्व मूळ अवयव गुणाकार स्वरूपात लिहू:
  1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
  हा गुणाकार अनुक्रमे बदलून 5 × 5 × 5 × 2 × 2 × 2 असाही लिहिता येतो, जो पर्याय (C) मध्ये दिलेला आहे.

उत्तर: पर्याय (C) 5 × 5 × 5 × 2 × 2 × 2

 

प्र. 7. 2100 चा मूळ गुणनखंड आहे (Prime Factorisation) :

(A) 2 X 2 X 7 X 15 X 5                   (B) 2 X 2 X 3 X 5 X 35

(C) 2 X 2 X 3 X 5 X 5 X 7               (D) 4 X 3 X 5 X 5 X 7

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

2100 या संख्येचे मूळ गुणनखंड (Prime Factorization) पाडण्याची सविस्तर पद्धत खालीलप्रमाणे आहे:

• टप्प्याटप्प्याने भागाकार करणे:
  * 2100 ÷ 2 = 1050
  * 1050 ÷ 2 = 525
  * 525 ÷ 5 = 105
  * 105 ÷ 5 = 21
  * 21 ÷ 3 = 7
  * 7 ÷ 7 = 1
• मूळ अवयवांची मांडणी:
  यावरून 2100 चे सर्व मूळ अवयव गुणाकार स्वरूपात खालीलप्रमाणे मिळतात:
  2100 = 2 × 2 × 5 × 5 × 3 × 7
  
  हेच अवयव चढत्या क्रमाने मांडल्यास:
  2100 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 7

*टीप: पर्याय (A) मध्ये 15 आणि पर्याय (B) मध्ये 35 या संयुक्त संख्या आहेत, मूळ संख्या नाहीत. पर्याय (D) मध्ये 4 ही सुद्धा मूळ संख्या नाही. केवळ पर्याय (C) मध्ये सर्व संख्या मूळ संख्या (Prime Numbers) आहेत.*

उत्तर: पर्याय (C) 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 7

Video Explanation :