6 वी नवोदय : अंकगणित - दशांश अपूर्णांक आणि त्यावरील मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 4.2

   

6 वी नवोदय : अंकगणित - दशांश अपूर्णांक आणि त्यावरील मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 4.2

                  इयत्ता 6 वी नवोदय विद्यालय प्रवेश परीक्षेच्या अंकगणित प्रकरण 4, दशांश अपूर्णांक आणि त्यावरील मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 4.2, यातील सर्व उदाहरणे या पोस्ट मध्ये सोडवून दिलेली आहेत. या स्वाध्यायात खालील विविध पद्धतींवर आधारीत उदाहरणे देण्यात आलेली आहेत. 

1) या स्वाध्यायामध्ये दशांश अंकांमधील सर्वांत मोठी संख्या किंवा सर्वांत लहान संख्या ओळखणे अशा पद्धतीची उदाहरणे विचारली गेलेली आहेत.

2) दशांश चिन्हांमधील सर्वांत मोठी किंवा सर्वांत लहान संख्या ओळखण्यासाठी दशांश चिन्हाच्या उजवीकडे जेवढे जास्त शून्य असतील तेवढी ती संख्या लहान लहान होत चालते.

3) अशाच पद्धतीने दशांश संख्यांना चढत्या क्रमाने किंवा उतरत्या क्रमाने मांडायला सांगितले आहे.

4) असे करत असताना परत दशांश चिन्हाच्या डावीकडील number जेवढा मोठा तेवढी ती मोठी संख्या आणि दशांश चिन्हाच्या उजवीकडे जेवढे जास्त शून्य तेवढी ती छोटी संख्या किंवा लहान संख्या हा नियम आपल्याला लक्षात घ्यायला लागतो.

5) तसेच दशांश चिन्हांमधील संख्यांचा भागाकार, दशांश चिन्हांमधील संख्यांचा गुणाकार यावर आधारित प्रश्नसुद्धा या स्वाध्यायामध्ये विचारली गेलेली आहेत.

6) काही प्रश्नांमध्ये दोन संख्यांचा गुणाकार दिलेला आहे. त्यातली एक संख्या दिलेली असताना दुसरी संख्या काढण्यासाठी विचारलं गेलेलं आहे.

7) अशी विविध प्रकारची 9 प्रश्न या स्वाध्याय 4.2 मध्ये विचारण्यात आलेली आहेत. 

8) या स्वाध्यायातील सर्व उदाहरणांचे सोप्यात सोप्या पद्धतीने स्पष्टीकरण या ठिकाणी देण्यात आलेले आहे.

प्र. 1. पुढीलपैकी सर्वांत मोठी संख्या कोणती ?

(A) 0.0003     (B) 0.003     (C) 0.03     (D) 0.3

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

दशांश अपूर्णांकांची (Decimal Fractions) तुलना करताना खालील महत्वाचा नियम लक्षात ठेवावा:

"दशांश चिन्हाच्या (Decimal point) नंतर उजवीकडे जेवढी जास्त शून्ये असतील, तेवढी ती संख्या लहान होत जाते."

दिलेल्या पर्यायांची तुलना:

• 0.0003: दशांश चिन्हानंतर 3 शून्ये आहेत.
• 0.003: दशांश चिन्हानंतर 2 शून्ये आहेत.
• 0.03: दशांश चिन्हानंतर 1 शून्य आहे.
• 0.3: दशांश चिन्हानंतर एकही शून्य नाही.

संख्यांचा चढता क्रम (Ascending Order):

0.0003 < 0.003 < 0.03 < 0.3

त्यामुळे, वरील सर्व पर्यायांमध्ये 0.3 ही सर्वात मोठी संख्या आहे.

प्र. 2. पुढीलपैकी कोणत्या संख्या उतरत्या क्रमाने आहेत ?

(A) 12.075, 12.705, 12.750           (B) 12.750, 12.705, 12.075

     (C) 12.750, 12.075, 12.705           (D) 12.075, 12.750, 12.705

 उत्तर :

स्पष्टीकरण :

दशांश अपूर्णांकांचा उतरता क्रम (Descending Order) लावण्यासाठी खालील नियम समजून घेणे आवश्यक आहे:

"उतरता क्रम लावताना सर्वात मोठी संख्या आधी घ्यावी लागते, त्यानंतर त्यापेक्षा लहान आणि सर्वात शेवटी सगळ्यात लहान संख्या येते."

दिलेल्या दशांश संख्यांची तुलना:

सर्व संख्यांमध्ये पूर्णांक भाग 12 समान आहे. त्यामुळे आपण दशांश चिन्हानंतरच्या (Decimal point) भागांची तुलना करू:

• 12.750: दशांश भाग 0.750 आहे (सर्वात मोठा).
• 12.705: दशांश भाग 0.705 आहे (मध्यम).
• 12.075: दशांश भाग 0.075 आहे (सर्वात लहान).

संख्यांचा उतरता क्रम (Descending Order):

12.750 > 12.705 > 12.075

त्यामुळे, 12.750, 12.705, 12.075 हा योग्य उतरता क्रम आहे, जो पर्याय (B) मध्ये दिला आहे.

प्र. 3. जर 278.10 / 13.5 = 20.6, तर 27810 / 1.35 = किती ?

(A) 2.060    (B) 20600    (C) 2.06    (D) 206

 उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी 1: दिलेली माहिती मांडून घेणे:

278.10 / 13.5 = 20.6

पायरी 2: अंशातील (Numerator) आणि छेदातील (Denominator) दशांश चिन्ह काढून रूपांतर करणे:

• 278.10 ला आपण 27810 / 100 असे लिहू शकतो.
• 13.5 ला आपण 1.35 × 10 असे लिहू शकतो.

म्हणून, समीकरणाची मांडणी खालीलप्रमाणे होते:

(27810 / 1.35) × (1 / 1000) = 20.6

पायरी 3: विचारलेल्या राशीची किंमत काढणे:

आता आपल्याला 27810 / 1.35 ची किंमत शोधायची आहे. त्यासाठी 1000 ने उजव्या बाजूला गुणाकार करू:

27810 / 1.35 = 20.6 × 1000

27810 / 1.35 = 20600

त्यामुळे, अचूक उत्तर 20600 आहे, जो पर्याय (B) मध्ये दिला आहे.

प्र. 4.  4.239 ला 0.9 ने भागाकार दिल्यावर हाती येते :

(A) 0.471     (B) 4.71     (C) 47.1     (D) 471

 उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी 1: दशांश चिन्ह काढून भागाकार सोपा करणे
दिल्याप्रमाणे, आपल्याला 4.239 ÷ 0.9 चे मूल्य काढायचे आहे.
भागाकार करताना छेदामध्ये असणारा भाजक (0.9) पूर्णांक संख्या करण्यासाठी अंश (4.239) आणि छेद (0.9) या दोन्ही संख्यांना 10 ने गुणाकार करूया:

4.239 / 0.9 = 4.239 x 10 / 0.9 x 10 = 42.39 / 9

पायरी 2: 42.39 ला 9 ने भाग देणे

• 9 ने 42 ला भागल्यास: 9 x 4 = 36 (बाकी उरते 42 - 36 = 6)
• दशांश चिन्ह देऊन पुढील संख्या 3 खाली घेतल्यास संख्या 63 बनते.
• 9 ने 63 ला भागल्यास: 9 x 7 = 63 (बाकी उरते 63 - 63 = 0)
• शेवटची संख्या 9 खाली घेतल्यास: 9 x 1 = 9 (बाकी उरते 9 - 9 = 0)

यामुळे, भागाकार 4.71 येतो.

---

अंतिम निष्कर्ष:
4.239 ला 0.9 ने भागल्यास 4.71 उत्तर येते, म्हणून योग्य पर्याय (B) आहे.

प्र. 5. 0.8 आणि 0.04 यांचा गुणाकार किती ?

(A) 3.2     (B) 0.32     (C) 0.032     (D) 0.0032

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी 1: संख्यांचा नेहमीप्रमाणे गुणाकार करणे
सर्वप्रथम, दशांश चिन्हाचा (Decimal Point) विचार न करता मूळ संख्यांचा गुणाकार करूया:
8 × 4 = 32

पायरी 2: दशांश स्थानांची (Decimal Places) मोजणी करणे
आता दिलेल्या दोन्ही संख्यांमधील दशांश चिन्हा नंतरच्या एकूण अंकांची मोजणी करूया:

• 0.8 मध्ये दशांश चिन्हा नंतर 1 अंक आहे.
• 0.04 मध्ये दशांश चिन्हा नंतर 2 अंक आहेत.
• एकूण दशांश स्थाने = 1 + 2 = 3 स्थाने

पायरी 3: उत्तरात योग्य ठिकाणी दशांश चिन्ह देणे
गुणाकाराने मिळालेल्या उत्तरामध्ये (32) उजवीकडून डावीकडे 3 स्थाने सोडून दशांश चिन्ह द्यावे लागेल:

0.8 × 0.04 = 0.032

---

अंतिम निष्कर्ष:
0.8 आणि 0.04 यांचा गुणाकार 0.032 येतो, म्हणून योग्य पर्याय (C) आहे.

अजून वाचून पहा : 6 वी नवोदय : अंकगणित - दशांश अपूर्णांक आणि त्यावरील मुलभूत क्रिया - स्वाध्याय 4.1

प्र. 6. दोन संख्यांचा गुणाकार 3.92 आहे. त्यांपैकी एक संख्या दुसरीच्या दुप्पट आहे, तर त्यांतील मोठी संख्या कोणती ?

(A) 5.6     (B) 4.2     (C) 1.4     (D) 2.8

 उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी 1: समीकरणाची मांडणी करणे
समजा लहान संख्या = x
दिलेल्या माहितीनुसार, मोठी संख्या ही लहान संख्येच्या दुप्पट आहे.
म्हणून, मोठी संख्या = 2 x x = 2x

पायरी 2: x ची किंमत काढणे
दोन्ही संख्यांचा गुणाकार 3.92 दिला आहे:

x x 2x = 3.92
2x^2 = 3.92
x^2 = 3.92 / 2 

x^2 = 1.96

दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेतल्यास:
x = sqrt1.96 = 1.4
म्हणून, लहान संख्या (x) = 1.4

पायरी 3: मोठी संख्या शोधणे
मोठी संख्या = 2 times x
= 2 x 1.4 = 2.8

---

अंतिम निष्कर्ष:
त्यांतील मोठी संख्या 2.8 आहे, म्हणून योग्य पर्याय (D) आहे.

प्र. 7. दोन दशमान संख्यांचा गुणाकार 14.837 आहे. जर त्यांपैकी एक संख्या 4.01 असेल, तर दुसरी दशमान संख्या कोणती ?

(A) 3.7     (B) 3.07     (C) 3.007     (D) 37

 उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी 1: सूत्राची मांडणी करणे
दोन संख्यांचा गुणाकार = पहिली संख्या × दुसरी संख्या
म्हणून, दुसरी संख्या काढण्यासाठी आपल्याला गुणाकाराला पहिल्या संख्येने भागावे लागेल:

दुसरी संख्या = 14.837 / 4.01

पायरी 2: दशांश चिन्ह काढून भागाकार सोपा करणे
छेदामधील संख्या (4.01) पूर्ण संख्या करण्यासाठी अंश आणि छेद या दोन्ही संख्यांना 100 ने गुणाकार करूया:

14.837 x 100 / 4.01 x 100 = 1483.7 / 401

पायरी 3: 1483.7 ला 401 ने भाग देणे

• 401 ने 1483 ला भागल्यास: 401 x 3 = 1203 (बाकी उरते 1483 - 1203 = 280)
• दशांश चिन्ह देऊन पुढील संख्या 7 खाली घेतल्यास संख्या 2807 बनते.
• 401 ने 2807 ला भागल्यास: 401 x 7 = 2807 (बाकी उरते 2807 - 2807 = 0)

यामुळे, भागाकार 3.7 येतो.

---

अंतिम निष्कर्ष:
दुसरी दशमान संख्या 3.7 आहे, म्हणून योग्य पर्याय (A) आहे.

प्र. 8. जर 12276 / 1.55 = 7920, तर 1227.6 / 7920 ची किंमत किती ?

(A) 1.55    (B) 0.0155    (C) 0.155    (D) 15.5

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

पायरी 1: दिलेल्या समीकरणाची पुनर्रचना करणे
आपल्याला दिलेले समीकरण:
12276 / 1.55 = 7920

या समीकरणाची अदलाबदल करून आपण लिहू शकतो:
12276 / 7920 = 1.55

पायरी 2: विचारलेल्या पदाची किंमत काढणे
आपल्याला 1227.6 ÷ 7920 ची किंमत काढायची आहे.
अंशामध्ये 1227.6 ही संख्या 12276 / 10 अशी लिहिली जाऊ शकते:

1227.6 / 7920 = 12276 / 7920 x 10

पायरी 3: मूळ किंमत वापरून उत्तर शोधणे
पायरी 1 वरून, आपल्याला माहित आहे की 12276 / 7920 = 1.55
म्हणून, वरील समीकरणात ही किंमत ठेवल्यास:

1227.6 / 7920 = 1.55 / 10 = 0.155

---

अंतिम निष्कर्ष:
1227.6 ÷ 7920 ची किंमत 0.155 येते, म्हणून योग्य पर्याय (C) आहे.

प्र. 9.  जेव्हा 48.480 ला 8 ने भागावे, तेव्हा येणारा भागाकार असेल.......

(A) 6.060     (B) 60.60     (C) 6.006     (D) 6.60

उत्तर :

स्पष्टीकरण :

गणितातील भागाकार (Division of Decimals) सोडवताना दशांश चिन्हाची (Decimal point) काळजी घेणे अत्यंत महत्त्वाचे असते. या प्रश्नामध्ये 48.480 या दशांश संख्येला 8 या पूर्ण संख्येने भागायचे आहे.

टप्प्याटप्प्याने स्पष्टीकरण (Step-by-Step Solution):

1. पहिला टप्पा (पूर्णांक भाग):
   सर्वप्रथम दशांश चिन्हाच्या डावीकडील संख्या 48 चा विचार करू.
   48 ÷ 8 = 6 (कारण 8 × 6 = 48).
   बाकी उरेल 00.
2. दुसरा टप्पा (दशांश चिन्ह देणे):
   48 चा भाग पूर्ण झाल्यावर भागाकारात 6 च्या पुढे दशांश चिन्ह (.) द्या.
3. तिसरा टप्पा (दशांशांनंतरची पहिली संख्या):
   खाली 4 ही संख्या घ्या.
   8 ने 4 ला भाग जात नाही (कारण 4 हे 8 पेक्षा लहान आहे), म्हणून भागाकारात 0 लिहा.
   (8 × 0 = 0, बाकी 4 उरेल).
4. चौथा टप्पा (पुढील संख्या जोडणे):
   आता 4 च्या बाजूला पुढील संख्या 8 खाली घ्या, ज्यामुळे संख्या 48 तयार होईल.
   पुन्हा, 48 ÷ 8 = 6.
   (8 × 6 = 48, बाकी 0 उरेल).
5. पाचवा टप्पा (शेवटचा शून्य):
   शेवटी उरलेला 0 खाली घ्या.
   0 ÷ 8 = 0.
   त्यामुळे भागाकारात शेवटी 0 जोडला जाईल.

अंतिम उत्तर:

संपूर्ण भागाकार केल्यावर मिळणारा भागाकार 6.060 हा आहे.

योग्य पर्याय: (A) 6.060

Video explanation :